Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 109

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 156 >> Следующая

и мы получим решение уравнения (7.12). Если вместо оператора d/diА0
выбрать оператор ? f{(L0)d/dxt-\- Aq, то совместное решение уравнения
(7.51) и уравнения
? f, (to) -^ + A0F-FAt =0 (7.52)
дает решение уравнения типа Калоджеро (7.28). Заметим еще, что все эти
уравнения можно рассматривать непосредственно как уравнения на величины
?,(лс, z, t)- при этом проблема отыскания Л-оператора по данному ^-
оператору отпадает.
Перейдем к вопросу о нахождении ядра оператора R+ по данному F. Умножая
(7.41) на (1 + К+) и рассматривая ответ в области z' > z, получим
соотношение
оо
F (г, г') + К+ (г, г') +]к+(г, z") F (г", г) dz" = 0. (7.53)
г
Его можно рассматривать при каждом z = Zo как интегральное уравнение
Фредгольма второго рода для отыскания функции K+(zo, z'). (При заданном
К+ (7.53) можно рассматривать также как вольтерровское уравнение для
определения F(z,z').) При этом возникает следующая схема построения
точных решений уравнения (7.31), (7.28), (7.12):
F(z, г', х, 0 K+(z, z', х, t) lt(z, х, t)
->ui(z, х, t), vt(z, x, t). (7.54)
На первом этапе рассматривается произвольное решение системы двух
уравнений для F, затем решается уравнение (7.53), далее по известному К+
производится одевание затравочных операторов и вычисление величин щ и vt.
Отдельные частные решения могут быть найдены при помощи разделения
переменных. Пусть F удовлетворяет уравнениям (7.53), (7.49). Будем искать
их решение в виде
F~F{(z, х, t)F2(z', х, (). (7.55)
Легко видеть, что Fi и F2 должны удовлетворять уравнениям
dFl (7-56)
^ + Л0Е1 = с2Е"
a°?--F2L0 = -F2cu
Ц*- - Мо= - F2c2. (7.57)
Здесь Ci и с2 - произвольные пока матричные функции от х и t, которые
должны быть выбраны из условий совместности систем
7.4. Одевание "L - Л" пар
2РЗ
уравнений (7.56) и (7.57). Легко видеть, что для этого необходимо
Цт~а^Г=[си с2]. (7.58)
Решение уравнения (7.53) будем искать в виде:
K+ = K{z, х, t)F2{z', х, t). (7.59)
После подстановки в (7.53) найдем
К (z, х, t) = - F: {z, x, t) ? 1 + jj F2 (z, x, t) Fx (z, x, t) dz j .
(7.60)
Более общие решения можно искать в виде
F=?f["{z, х, t)FW(z', х, t),
k=\
K+ = z K(k){z, x, t)Ff(z', x, t). (7.61)
*=i
Bee F\k), F(2fe) удовлетворяют уравнениям (7.56), (7.57); K(k)
определяются из линейной алгебраической системы уравнений с постоянными
коэффициентами.
Все решения, при которых происходит разделение переменных и уравнение
(7.53) сводится к системе алгебраических, мы будем называть ЛУ-
солитонными решениями. Условие отсутствия интегральной части в "одетых"
операторах можно рассматривать как уравнение на ядро оператора К+. Легко
видеть, что эти уравнения имеют вид
а + LK+ - K+L0 = 0, (7.62)
^- + АК+-К+А0 = 0. (7.63)
Метод одевания позволяет, по крайней мере в принципе, решать для
исследуемых уравнений задачу Коши по следующей схеме:
I ч "+ I 41 " IV
ui If =о > If-п > К Ь=0' F If-о ' *
V II VI VII
-> F I,., -> к+ |f=, -> h \t=t -> щ I(7.64)
На втором этапе этой схемы нужно найти в начальный момент времени t = 0
ядро K+{z, z', х, t). Это можно сделать, решая задачу Коши -Гурса для
уравнени (7.62) - величины %i(z,x,t) при этом рассматриваются как данные
на характеристике z'=z. На третьем этапе схемы нужно найти F (г, z')\t_Q.
Для этого Можно использовать уравнение (7.53), рассматривая его как
284
7. Метод обратной задачи рассеяния
вольтерровское уравнение относительно F. Далее схема (7.64) не отличается
от (7.54).
В качестве простейшего примера положим а = 0, Со = = д2/дг2. Тогда
уравнение (7.43) приобретет вид
--^ = 0. (7.65)
дг2 dz'
В частности, можно выбрать F = F(z-{-z'). В этом случае уравнение (7.53)
переходит в известное уравнение Марченко, решающее обратную задачу
рассеяния для оператора Шрёдингера. Вопрос о том, в какой мере и в каком
смысле уравнение
(7.53) решает обратную задачу рассеяния для операторов М и д/dt -f А,
еще недостаточно исследован.
Общее совместное решение уравнений (7.43), (7.49) может быть записано в
виде
F (г, z', х, t) - ^ ехр [4 (Яг + Hz') + А0 (/Я) t -f- L0 (/Я) х] X
X F (Я, Я') ехр [- А0 (iX't) ~^?0 (/Я') dX dX'. (7.66)
Здесь F(X, X') - произвольная матричная функция, Л0(/Я) и ?0(iX)- символы
операторов А0 и ?0. Запись (7.66) существенно использует тот факт, что
[Л0, Я0] = 0.
Заметим, что изложенная выше схема одевания нигде не использует не только
факт коммутативности операторов ?0 и А0. но даже и постоянство их
коэффициентов. В принципе можно было бы одевать произвольные операторы А
и ? некоммутирующими операторами с зависящими от х, t и z переменными
коэффициентами. При этом, однако, уравнения (7.43) и (7.49) могут
оказаться несовместными. Для их совместности достаточно выполнения
условия (7.31). В частности, коэффициенты новых "затравочных" операторов
? и А могут быть одним из частных решений уравнения (7.31), возможно не
убывающим при z->± оо.
7.5. Проблема редукции и физическая интерпретация примеров
Хотя метод обратной задачи начался с уравнений, имеющих прозрачный и
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed