Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
nN
xt(*)=$?Su(х, х')xj{х')dx'.
/-1
Операторная матрица Sij(X,X') представляет теперь полную матрицу
рассеяния, п обратная задача состоит в восстановле-
7.4. Одевание "? - Л" пар
279
нии коэффициентов оператора ? по матрице Sij {к, к'). Возможность этого
восстановления в ряде случаев строго доказана [7.15]. Зависимость
оператора Sij (к, к') от времени t восстанавливается из уравнения
Sn (А,,А,',0 = ехр J A^di^S^d, к', 0)ехр |^- \ A (?j) rffj. (7.37)
Если коэффициенты операторов ? и Л не зависят от х, то Stl(К, к', t) =
S{,(k)b(k-k'),
и мы приходим к формуле (7.18).
Заметим еще, что уравнение (7.31) можно рассматривать как условие
совместности уравнения (7.11) и уравнения
Мф == а-^ + ?ф = 0. (7.38)
7.4. Одевание "L - Л" пар
До сих пор мы занимались только отысканием уравнений, в принципе
интегрируемых методом обратной задачи. В настоящем разделе мы опишем
способ построения их точных решений, не использующий уравнений обратной
задачи рассеяния. Как и прежде, мы стартуем с "затравочных" или "голых"
операторов ?0, Aq. Пусть R+ - вольтерровский справа интегральный
оператор, определенный на том же пространстве функций, что и ?0,
оо
К+ц = ^К+{г, z')ty(z')dz'. (7.39)
Z
В силу известного свойства вольтерровских операторов, оператор 1 + К4
является обратимым. Преобразуем оператор ?0 при помощи 1 + К4, т. е.
рассмотрим оператор
? = (1 + К+)?0(1 + К+)~\ (7.40)
Вообще говоря, оператор ? состоит из двух частей - дифференциального
оператора с переменными, зависящими от R+ коэффициентами, и интегрального
вольтерровского справа оператора (ядро оператора К4 предполагается
достаточное число раз дифференцируемым). Однако, можно найти такие К4,
что интегральная часть в ? обратится в нуль.
Для этого рассмотрим фредгольмов оператор Р,
+ °°
?ф = jj F(z, z')i<{z')dz', - 00
280
7. Метод обратной задачи рассеяния
также обладающий сколь угодно гладким ядром, и произведем факторизацию
этого оператора, то есть представим его в виде произведения двух
вольтерровских в разные стороны операторов
1 +^ = (1 +^+)"' (1 + г
Я"ф = \ К~(г, z')q(z')dz'. (7.41)
- ОО
Операторы К* можно назвать вольтерровскими факторами оператора Р.
Среди всех операторов Р нас будут интересовать коммутирующие с
дифференциальными операторами. Пусть, например, оператор Р коммутирует с
оператором М0 = ад/дх + L0, т. е.
FM0 - M0F = 0. (7.42)
Применяя соотношение (7.42) ко всем функциям ф и интегрируя
по частям выражение /ТЙ0ф, получим дифференциальное урав-
нение на ядро оператора F
<7-4з)
k=0
Эквивалентное условию коммутативности (7.42) уравнение (7.43) можно
записать в символическом виде
a + L0F - FLq - 0. (7.44)
Выражение FLo означает, что оператор Lo - сопряженный к 20,
дифференцирование - по переменной г', а матричные коэффициенты умножаются
на F справа.
Рассматривать коммутирующие с операторы F важно потому, что имеет место
Теорема 2. Если оператор (1+^) коммутирует с дифференциальным оператором
Мо и обратим, то его вольтерровские факторы (1 + /?*) преобразуют Л4о в
один и тот же чисто дифференциальный оператор М.
Доказательство.
M=(\+K+)MQ(l+K+)~l =
= (l +fi-)(l +F)-'Af0(l +F)(l +R~y' =
= (i + ^-)M0(l+^T1. (7.45)
Из (7.45) следует, что операторы (Г+^±) преобразуют оператор М0 к одному
и тому же оператору /Я. Следовательно, этот
7.4. Одевание "С - А" пар
281
оператор чисто дифференциальный, и его интегральные вольтер-ровские
составляющие равны нулю.
Коэффициенты оператора Л4 можно вычислить из соотношения
Af(l +K+) = (l +К+)М0. (7.46)
Расписывая (7.46) в явном виде, легко вычислить коэффициенты оператора SA
в явном виде
M = a-~^-+L, причем щ (г) = [/", У +
U2(z) = (n - О ^dz ' 4 ^°' ^ w'lo
(7.47)
В этих формулах
1,(2) = (-±-^4(2, z')\z^. (7.48)
Таким образом, п коэффициентов оператора ? оказались выражены через п
величин |;(г). Если при этом оператор ?0 канонический, то ? также
канонический. Процедура явного построения операторов ?, М по операторам
?0> М0 может быть названа одеванием операторов ?0, Л4о- Аналогичным
образом
можно произвести одевание оператора d/dt -+- А0. В результате его
одевания возникает оператор d/dt -+- А, где коэффициенты Vi оператора А
выражаются через по формулам, аналогичным (7.47).
Пусть теперь оператор Р коммутирует одновременно с операторами М0 и d/dt
+ А0, т. е. его ядро кроме уравнения (7.43) удовлетворяет еще уравнению
-§? + АоЕ-ЕАо+ = °. (7.49)
Тогда при помощи оператора R+ осуществляется одновременное одевание обоих
затравочных операторов. Рассмотрим теперь некоторую функцию ф0, для
которой
Л?0ф0 = а-^- + ?0ф0 = 0; ^+А0г|>0 = 0. (7.50)
Из формулы (7.34) немедленно следует, что функция
ф = (1 +К+)%
удовлетворяет уравнениям (7.11) и (7.38). Таким образом, Ui(z,x,t) и
Vi(z,x,t), определенные по формулам (7.47) при помощи оператора R+,
автоматически представляют собой решение уравнения (7.35). В частном
случае, когда ос = 0 и М = ?, уравнение (7.44) заменится на
LqF -- FLq - 0 (7.51)
282 1. Метод обратной задачи рассеяния
