Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 107

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 156 >> Следующая

На первом этапе схемы нужно по начальным данным w, (z, 0) найти матрицу
S(X, 0) (точнее говоря, набор данных Д(^), до-
7.2. Метод отыскания "?.-Л" пар
275
статочный для восстановления ш(г)), затем - на втором этапе - применить
формулу (7.18), на третьем этапе -решить обратную задачу рассеяния,
восстанавливающую Ui{z,t). В этом и состоит метод обратной задачи.
Из сказанного выше ясно, что уравнение (7.19) восстанавливается по паре
"затравочных" асимптотических операторов ?о и А0-
Приведем ряд простейших примеров
1)?" = /^; = [Л Л = 0;
t = Jlk+lJ'Qb A = I-^+[I,Qb из (7.12) теперь следует ([7.8] -[7.10])
jfU, Q]=IQJ-JQzI + [V, Q], [I, Q]]. (7.21)
2W _JL. Лп = 4^-
Z-) '-a Qz2 ' 0 dz3 '
Г d2 7 . д3 *\ ( д.д \
L~~dz2~U'' ~dz3~ [U'dz^"dzU)'
ut - 3 {uuz + uzu) - uzzz = 0. (7.22)
o\ Г d3 | a d л -ad2
3) L° ~ dz3 S dz ' A°~ (r) dz2 '
?=ш~т(иш + ши) + тш + !;2^;
ut - 2 $wz;
Wt = f- p (- \ Uzzz - s2uz + uuz + -| uzu) . (7.23)
О физическом смысле всех этих уравнений будет сказано ниже. •
4) ?о = (0 L = Lo + (q о);
a)A, = a('
Л = Л + т[(^ + o)]+t( Q4-°qr);
rt = j (rzz + rqr);
qt=~T^^+qrq). (7.24)
276
7. Метод обратной задачи рассеяния
~ /1 0\ дз
Ь) Л> -(0 j J дгъ >
*-*•-11(7. ~№+М7. "*)]'
П = - 1 Гггг - X (г^г + rqrt);
2 ггг 4
9/ = - 4 - J (Qzrq + qrq,). (7.25)
ъГ-(1 i = if1 0>1А.
' 0 V о 1 у Зг2 ' Л° р I, о - 1 ) dz '
А /< A A J
L - L0 + и; А - А0 + j-v;
P"f = 4- {/, "/} + [", и]; иг == - Т U, и] (см. [7.11]). (7.26)
7.3. Элементарные многомерные обобщения
Наиболее простой способ осуществить многомерные обобщения рассмотренной
выше процедуры - это рассмотреть при одномерном операторе С многомерный
оператор А вида
Емо^-м,, (7-27)
/=i
где fi(L) - некоторые фиксированные полиномы от оператора L. Поскольку
[L, h (L)] = 0, основное уравнение Лакса примет теперь вид
!^ + [L, х,] + ? ы?) -й7 = о- <7-28)
/=i
Уравнение (7.28) отличается от (7.12) только присутствием свободного
члена fi(L)dL/dxt и очевидно в силу теоремы 1 однозначно определяет С и А
по предельным значениям ?о и Ай, В качестве примера рассмотрим
м; -:н+и°-о>
Л-шС + С± + А1;
A-i(o -.)¦
7.3. Элементарные многомерные обобщения
277
Условие (7.28) приводит к уравнению
ди . д2и , .
Ж = гз7з7 + иш;
f-2^1"Р. (7.29)
К сожалению, уравнение (7.29) и другие уравнения типа (7.28) не имеют
пока физических применений (кроме [7.14]).
Более содержательные многомерные системы возникают, если оператор С сам
становится многомерным. Пусть, например, оба оператора С и Л содержат
производные по переменным х и г. Выписывая уравнения (7.13), мы уже на
простейших примерах убеждаемся, что за счет появления смешанных
производных по г число условий на коэффициенты операторов ? и Л превышает
число этих коэффициентов, что делает невозможным буквальное повторение
вышеизложенной процедуры. Единственным исключением является случай, когда
оператор С содержит только первую производную по переменной х (включение
первой производной по х в оператор Л эквивалентно переопределению
переменной t). При этом оператор С заменяется на /0,
M = a-^ + L, (7.30)
а уравнение (7.12) заменяется на уравнение
f~a|i = [t, Л]. (7.3!)
Расписанное по производным уравнение (7.31) отличается от системы (7.13)
только добавлением производных vix в соответствующие строчки. Поэтому
только несколько первых коэффициентов vt может быть определено из
алгебраических уравнений- для остальных возникают уравнения в частных
производных. Теорема 1 может быть теперь переформулирована следующим
образом: задание операторов Л0 и Й0=а(д/дх)-\-С$ однозначно определяет
систему уравнений для коэффициентов операторов С и Л. Приведем теперь
примеры, обобщающие на двумерный случай примеры из разд. 7.1.
1)Ц = 1±; Аа = !±;
¦§г V> Q1 - ж V> Q1 = !QzJ ~ JQ*! + [Г7> Q1. Г7- Q]]- (7-32)
2) Операторы ? и Л из примера (7.22) дают при помощи формулы (7.31)
систему
ut = 2|Зад,,
wt
-- J Р ( - J Uzzz ~ s-uz + ~ UUZ + J мгм) + сШх. (7.3:
278
7. Метод обратной задачи рассеяния
Система (7.33) является одновременно двумерным обобщением уравнений
(7.22) и (7.23).
3>?""(о +('Н: ?=г" + (" о):
1 /я -}- 1
у40 = -g-1 q a)'dzT и ^ предполагаются скалярными);
л = Л + ^[(° o)i + i((? о)] + т(ф2 г2):
$rt = Dxr + (/-! - r2)r\
- р<7, = Дг + (Г! - r2)q\
D2 (/"1 - /"2) + 2 Dxrq - 0;
= "2 al7 + 2 (/ - я) а ^ + (/2 - 21а - а) ;
й = "г^ + "(2/+1)^ + /(/+1)^. (7.34)
Очевидно, мы получили двумерное обобщение уравнений (7.24). Рассмотрим
спектральную задачу
Мф = ct JJ-+/л|> == Лф. (7.35)
Легко видеть, однако, что эта задача обладает вырождением по X.
Действительно, преобразование = ехр(Хх/а)% приводит уравнение (7.35) к
уравнению
a-g- + ?x=0. (7.36)
Рассмотрим уравнение (7.36) при г-v+oo. Оно имеет решение вида
%.{Х, 2, *) = Хгехр(?;2 - Ufa),
где (?Д) расположены на римановой поверхности (7.5). При г->-+оо полное
решение разлагается теперь в интеграл
пЫ
X* (2, х) = jj ]Г Xf (X) хг ехр (?.z - Хх/а) dX. i=1
Величины Xf(X) связаны линейным операторным соотношением
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed