Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
смысл.
7.2. Метод отыскания "? - Л" пар
Пусть ф (z) (-oo<z<oo) - комплексные вектор-функции (ф == фь ..., флг), а
С - дифференциальный оператор
? = /о~д7 +Ы1-^ГТ + ••• +ип- (7.1)
Здесь /о - постоянная невырожденная матрица, а щ(г) - переменные матрицы,
имеющие пределом на бесконечности постоянные матрицы /", причем
II и* (z) - /г || < с (p,)e_|i 1 zl при | г j ->- оо и любом р, > 0.
(7.2)
272
7. Метод обратной задачи рассеяния
Таким образом при 2-"-±оо ?-"-?0, где
Lo==l°!^ + l'J^ + ''' + ln'
а дифференциальное уравнение
?ф = Ал|> (7.3)
при г-*- оо вырождается в уравнение с постоянными коэффициентами
?0Ф = Я-Ф. (7.4)
Уравнение (7.4) задает риманову поверхность
det
iikc-k-u
ft-0
= 0 (7.5)
и имеет в точках общего положения на ней набор фундаментальных решений
Ф,(Я,, г) = i = \,...,tiN. (7.6)
Любое решение системы (7.3) имеет асимптотику
nN
ф-> Z Xi (Л)Ф/(Л> z), z->± oo, (7.7)
;-i
причем
^+(Я,)=Е5//(Я,)Х/-(Я,); (7.8)
1
матрицу Si/(Л), аналитичную в предположении (7.2) на рима-новой
поверхности (7.5), мы назовем полной матрицей рассеяния оператора ?. Она
имеет существенную особенность в бесконечно-удаленной точке.
Если 5,7 (Л) является точной матрицей рассеяния для оператора ?, то она
очевидно является полной матрицей рассеяния и для оператора
1=еу{гЪ?~у{г\ (7.9)
где у (г)-произвольная матрица, коммутирующая с /0. Из всего класса ?
выберем канонический оператор, определяемый условием
Ui=li + [l0,Q], (7.10)
где Q(z)-некоторая матричная функция г.
Пусть 5ц(Л)-полная матрица рассеяния для некоторого канонического
оператора ?. Будем говорить, что для оператора ? однозначно определена
обратная задача рассеяния, если оператор ? восстанавливается по 5,/(Я)
единственным образом. Заметим, что задача восстановления оператора ? по
произволь-
7.2. Метод отыскания "? - Л" пар
273
ной матрице Sq(X) является сильно переопределенной. Это видно хотя бы из
подсчета числа функциональных коэффициентов матрицы 5г/(К) (их n2N2),
тогда как у оператора С при учете (7.10) их не более tiN2 - N. Поэтому
оператор С восстанавливается по набору q^.nN2- N рациональных соотношений
Ti(X), i=l, ..., q, от элементов матрицы Sq(X). При замене (7.2) условием
более слабого убывания щ(г) при ->±оо элементы Тц(Х) оказываются
определенными лишь на некотором множестве на римановой поверхности (7.5)-
в пределе на непрерывном и дискретном спектре оператора С. Подробное
обсуждение этих вопросов выходит за рамки настоящей статьи.
Пусть коэффициенты канонического оператора С с определенной задачей
рассеяния зависят еще от параметра /, причем dlk/dt = 0. Потребуем, чтобы
полугруппа сдвигов по /, порождаемая дифференциальным уравнением
(ао - постоянная матрица), действовала при каждом фиксированном X
инвариантно на линейном многообразии всех решений уравнения (7.3). Это
требование эквивалентно выполнению соотношения
Коммутатор [?, Л] в общем случае представляет собой оператор п + ш
порядка, и условие (7.12) эквивалентно n + m+1 уравнению, первые три из
которых имеют вид
Соотношение (7.14) можно рассматривать как уравнение для определения До-
Это уравнение при любом С0 имеет решения - достаточно взять, например, в
качестве Л0 произвольный оператор с постоянными числовыми коэффчциентами.
Имеет место следующая
(7.11)
где
А - а0
(7.12)
[/о, flo] -
[tQ, о,] - kb ui\ - 0.
Ro> v2] - [а0, ы2] + [",, щ] + nlo 1>1г - maQulz = 0. (7.13)
При z -> ± оо А -> Aq, причем очевидно [Z0, ^40] = О,
274
7. Метод обратной задачи рассеяния
Теорема 1. Существует единственный оператор А, имеющий своим пределом при
z-"-± оо оператор Д0-
Доказательство. Уравнения (7.13) определяют коэффициенты vk рекуррентным
образом. Для k и k + 1 уравнения имеют вид
[/о, vk] = fk, (7.15)
[/о. + vk] + nkvkz = /*+,. (7.16)
Здесь Д+1 зависят только от щ, i < *. Уравнение (7.15) определяет щ с
точностью до ^-мерного подпространства R матриц, коммутирующих с /о.
Умножая уравнение (7.16) на г,- е R и вычисляя след, замечаем, что
Тг{г,-[/0, ^+1]} = Тг{уа+1[/о, г,]} = 0.
В силу невырожденности /0 получаем в результате систему q линейно
независимых дифференциальных уравнений на коэффициенты матрицы Vk+\-
Аналогичные уравнения имеют место для ak, окончательный результат
извлекается из оценки (7.12).
Из (7.13) легко получить, что если оператор Ай канонический, то А - также
канонический.
Из (7.11) при z -оо следует
фДА,, z, 0 = exp?-^ A0(?,-)d/-f g.-zjoh (7.17)
(коэффициенты оператора Д0 могут зависеть от времени!). Отсюда для
матрицы S получаем
Sa(h, 0 = exp J A,(Ci)<"Js*/(A.)exp^- J A0(C/M*j. (7.18)
После определения оператора А остальные п уравнений, следующие из (7.12),
представляют собой нелинейную систему эволюционных уравнений относительно
Ui{t). Она может быть записана в символическом виде
??-=Г(и1), (7.19)
где {ut)-некоторый нелинейный оператор.
Из формулы (7.18) следует, что задачи Коши для этой системы может быть
решена по следующей схеме:
If=о S(X, 0) S(X, t) u{z, t). (7.20)
