Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
-/? *- -oo J
- 4^e')[- |+L"") - "'Идо - i ",¦;("]}*¦
266
6. Обратное преобразование рассеяния
В этом выражении второй и пятый члены сокращаются. Дальнейшие сокращения
можно произвести, если проинтегрировать по частям третий член. Используя
(6С.2), получим
R
r-?2) S ф|(СЖ (Odx =
-R
=т № (со 'й" <о - < (со а, юг я+
+4 m (о № (со - 2^4 (а ф2 (so] }Х.Л=
= - С (С + СО a2 (S') e2i <?'" s'>* + ? (С + со а2 (С) <?~2i (t ~?'>Л --
С (С - СО Ъ2 (5') е1 ,с+с#) * + ? (5 - S') 52 (?) el (t+t,) * --2(?2-
Па(С0М?0е2г?Л.
Третий и четвертый члены могут быть отброшены, поскольку при R-+oo они
соответствуют (после деления на 52- ?'2) дельтафункциям Дирака 6(^ + 5'),
а 5(5) = Ь(-5). Используя лемму Римана- Лебега, можно отбросить и
последний член (обращающийся в нуль при Im {5} > 0). Таким образом,
п
\ Ф22 (СО 44 (С) dx = а2 (5') ^ "-O' * -
-R
+ (?)*-* <s-s')"+o( 1), (6С.6)
откуда уже легко выводится (6С.4). Аналогичным образом могут быть
получены соотношения (6С.5).
Воспользуемся соотношениями ортогональности для построения
симплектической структуры на пространстве данных рассеяния. Рассмотрим
внешнее произведение (6.171) и интеграла от (6.172). Лемма Римана -
Лебега и соотношения
ЬЬ=аа- 1, b(?) = b(-Q, 6(C) -а (-С), Y* =
-1
АК (V
дают
+ СО
(Т°° A v W _
J ±ЬдА Jrfyty )</* = $ ^-61n (l - Ц) л 6 In 5 (5W5+
- оо - оо J О
N
+ ? 6 (25^) л 6 In 6А. (6С.7)
Приложение С. Соотношения ортогональности и сохранение два-форм 267
Если q(x,t) вещественно, то 5(?) = 6*(?), а(?)=п*(?) для вещественных ^ и
?* = ir\k. Следовательно, выражение (6С.7) есть
оо /V
J -§-61n(l-|/?|2)A6ArgMM+ ?в(-2т!*)лб1п*4,
О fc=l
где /?(?)= Ь/а. Это дает канонически сопряженные переменные в
пространстве данных рассеяния, и когда Н (гамильтониан системы)
принадлежит к классам интегрируемых систем, то эти переменные являются
переменными типа действие - угол.
ЛИТЕРАТУРА
6.1. Gardner С. S., Greene J. М., Kruskal М. D., Miura R. M. - Phys. Rev.
Lett. 19, 1095 (1967).
6.2. Gardner C. S., Greene J. M, Kruskal M. D., Miura R. M. - Comm. Pure
App. Math. 27, 97 (1974).
6.3. Zabusky N. J., Kruskal M. D. - Phys. Rev Lett, 15, 240 (1965).
6.4. Ablowitz M. J., Segur H. - Stud. Appl. Math 45, 13-44 (1977).
6.5. Benney D. J. -J. Math. Phys. 57, 52 (1966).
6.6. Washimi H., Taniuti T. - Phys. Rev. Lett. 17, 996 (1966).
6.7. Leibovich S. -J. Fluid Mech. 42, 803-822 (1966).
6.8. Zabusky N. J. - Comp. Phys. Commun. 5, 1 (1973).
6.9. Fermi E., Pasta J., Ulam S. - Los Alamos Report LA 1940 (May 1955);
Перепечатано в "Nonlinear Wave Motion", Lectures in Applied Mathema-
matics, Vol. 15 (A. M. S. Providence, Rhode Island 1974), p. 1430.
6.10. Захаров В E., Шабат А Б. - ЖЭТФ 61 118 1971).
6.11. Lax P. D. - Comm. Pure Appl Math. 21, 467 (1968)
6.12. Гинзбург В. Л., Питаевский Л. П. - ЖЭТФ 34, 1240 (1958).
6.13. Питаевский Л. П. - ЖЭТФ 35 408 (1958)
6.14. Kelly P. L - Phys. Rev. Lett 15, 1005 (1965).
6.15. Беспалов В. И., Литвак А. Г., Таланов В. И. - Труды второго
все-
союзного симпозиума по нелинейной оптике. - М.: Наука, 1968.
6.16. Benney D. J., Newell A. S.- J Math. Phys. 46, 133-139
(1967).
6.17. Newell A. S. - В кн.: Nonlinear Wave Motion, Lectures in
Applied Mat-
hematics, v. 15 (A. M. S., Providence, Rhode Island 1974), p. 157.
6.18. Benjamin Т. B., Feir J. E. - J. Fluid Mech. 27, 417 (1966).
6.19. Lake В. М., Yuen H. C., Rungaldier H., Ferguson W. E. - J. Fluid
Mech.
83, 49-74 (1977).
6.20. Wadati M. - J. Phys. Soc. Jpn. 32, 1681 (1972).
6.21. Ablowitz M. J. Каир D. J., Newell A. C., Segur H. - Phys. Rev.
Lett.
30, 1462 (1973).
6.22. Ablowitz M. J., Каир D. J., Newell A. C., Segur H. - Phys. Rev.
Lett.
31, 125 (1973).
6.23. Ablowitz M. J., Каир D. J., Newell A. C., Segur H. - Stud. Appl.
Math. 53, 249 (1974).
6.24. Lamb G. L. - Phys. Rev. A9, 422 (1974).
6.25. Фаддеев Л. Д., Тахтаджян Л. А. Существенно нелинейные одномерные
модели классической теории поля. - Препринт, 1974.
6.26. Miura R. - J. Math. Phys. 9, 1202 (1968).
6.27. Newell А. С. - В кн.: Backlund Transformations, ed. by Miura R. М.,
Lect. Notes in Math., v. 515 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York
1976).
6.28. Kruskal M. D. - В кн.: Nonlinear Wave Motion, Lectures in Applied
Mathematics, v. 15 (A. M. S., Providence, Rhode Island 1974), p. 61.
26*
6. Обратное Преобразование рассеяния
6 29. Ablowitz М. J., Каир D. J., Newell А. С. - J. Math. Phys. 15, 1852
(1974).
6.30. McCall S. L., Hahn E.L. - Phys. Rev. Lett. 18, 908 (1967); Phys.
Rev. 103, 183 (1969).
6.31. Каир D. J., Newell A. C. - Lett. Nuovo Cimento 20, 325
(1977).
6.32. Flaschka H.-Teor. Phys.. 51, 703 (1974); Phys. Rev. B9, 1924
(1974).
6.33. Moser J. (ed.) - Dynamical Systems, Theory and Applications,
Lecture
Notes in Physics, v. 38 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York,
1975).
6.34. Calogero F., препринт, 1975.
6.35. Ablowitz M. J., Ladik J. - J. Math. Phys. 16, 598 (1975).
6.36. Ablowitz M. J., Ladik J. - Stud. Appl. Math. 57, 1-12
