Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
построить матрицу с предписанными асимптотиками и Ф в окрестностях g = оо
и g'=* 0 соответственно. (Это задача Рймана - Гильберта.) При этом она
будет удовлетворять одновременно уравнениям по g и тр Коэффициент
262
6. Обратное преобразование рассеяния
/(т]), входящий в эти уравнения (который лучше вычислять из второго члена
асимптотического разложения 'F/d) в | = оо), удовлетворяет уравнению
(6.275). Подробности приведены в работе [6.101], а в [6.102] предложен
новый тип решений - многофазные автомодельные решения эволюционных
уравнений. Эти исследования были стимулированы работами Сато и его
соавторов [6.100], результаты которых указывают на тесную связь между
точно решаемыми моделями статистической физики (таких, как двумерная
модель Изинга) и интегрируемыми эголюционными уравнениями.
В заключение я хочу посвятить эту статью моим коллегам Марку Абловицу,
Дэвиду Каупу и Харви Сегуру из Кларксонов-ского колледжа и Генри Флашке
из Университета штата Аризона и выразить им благодарность за многие
плодотворные часы, которые мы провели вместе, открывая с удовольствием
результаты, изложенные в ней.
Приложение А. Соотношения ортогональности
Определим внутреннее произведение
0F (?), 4м (?')) = - лл26 (? - ?')> если ?, ?' вещественные,
Заметим, что а2 есть квадрат a(%,t). Это приводит к необходимости
введения производных % и т в соответствующих базисах. Дифференцируя
(6А.З) по % и получим
(-§[4&)) = (*(&)> = <6А-5)
(6А.1)
- оо
Пусть Lu = I и и Z/v = ?v, тогда
R
jj u(Q'vffldx- ("зр2 -"1Р1 )-r-
(6A.2)
-R
Из (6A.2) и (6.18) можно получить
J W (?) • 4м (?0 dx
2/(С-О
(6А.З)
-R
В свою очередь из (6А.З) вытекает
= 0 в остальных точках.
(6А.4)
(6 А.6)
Приложение В. Доказательство инвариантности формы (6.146) 265
Аналогичные вычисления приводят к следующим результатам:
ОР (g), 4м (?')> = ла_2б (g - g') для вещественных g, g',
*= 0 для остальных точек, (6А.7)
(-^-?(gfc), VA&i)) = (4(b). = (6А.8)
V (g*), ЧА (С,)) = - i "б,.. (6А.9)
Все остальные внутренние произведения равны нулю.
Приложение В. Доказательство инвариантности формы (6.146)
Используя соотношения между ср, ф и ср, ф (см. разд. 6.2), которые имеют
место при г = -q, уравнение (6А.З) и соответствующее уравнение, в котором
Ч' и 4м заменены на ^ и Ч(tm), могут быть преобразованы к виду
\ №+Ф?) (S') № - ¦;> (s) ^ - елл-2i(C_°(tm)e--------------.
~R (6В.1)
Отсюда находим
+ оо
J (ф2 + Фг) (?0 ('Фг 'Ф?) (?) dx -
- ОО
= na26(g - g') для вещественных g, g', = 0 для остальных точек,
1 тг№+ч>
- ОО
- S №+ф"(?,)^-(ч>1-"(?.)=т<\.
- ОО
S аГ(ф(+ф|)(?")^№-^)(?4) = -5-аХЛ,. (6В.2)
- ОО
Для доказательства инвариантности два-формы
264
6'. Обратное преобразование рассеяния
Л
возьмем bq согласно (6.134), а для ^ dy bq проинтегрируем (6.139):
- оо -оо
- 2/ У 6pft I ~г- - lim -sr=- ) -
^ v 2"5 2"5 Лй
.А а f<P? + <P22 .
2' 2pft 6^ft ж I 2/с ~щ~Aft ¦ *6B-4)
Члены, связанные со значениями <pj + <р| на -оо, дают вклады, которыми
можно пренебречь. Возможность пренебречь вкладом подынтегрального
выражения следует из леммы Римана - Лебега и того, что оно равно нулю при
? - 0. Вклады членов, входящих в сумму, убывают экспоненциально,
поскольку Im %k >" 0. После несложных вычислений, использующих (6В.2),
можно показать, что (6В.4) дает
оо N
S "ЖТ 6 In 6 (?) A In аа* + б In bk А б In =
0 ft-1
oo N
H 6-Ag-A6Arg6(0^ +J]6(-ln?ft)A61n6ft. (6B.5)
0 ft-l
Следовательно, сопряженными переменными в пространстве данных рассеяния
являются [-~-\паа*, Arg Ь(?) для положительных и вещественных ? и (-In
?*, In bk). Для специальных классов интегрируемых гамильтоновых систем,
рассмотренных выше, эти пары являются переменными типа действие - угол.
Приложение С. Соотношения ортогональности и сохранение два-форм,связанных
с уравнением Шрёдингера
Мы часто использовали следующие соотношения. Если (01,02) и (wuw2)
удовлетворяют (6.156), то
(v2w2)xX + 4?2(я2щ) + 2<7 (о2(r)*) = 2 (и,о", - /?(о,о)2 + о2о",)),
[0,0), - t;(o,a)2 -f Os(r)!)]* = - <7 (o2(r)2). (6C. 1)
Приложение С. Соотношения ортогональности и сохранение два-форм 265
В частности, если v = w - ф, то
X
ср2 - 2/?ф,ф2 = - qq>l + J qyф2 dy (6С.2)
И -оо
X
- т №)хх - ^2 - W2 + Т \ ЧУЧ>1 = LS4>1 - g^ = 0. (6С.З)
- оо
Сформулируем теперь и докажем соотношения ортогональности. 4-00
5 Ч>1 (S') Фг* (S)dx = 2igJta26 (g - g') для вещественных g, g\
=0 для остальных точек, 4-00 4-00
S -Щ Ъ1х (Q Ф2 (С/) ^ = S ^2, (s*) Ф22 (zl)dx = ~
sX2h,.
- оо
h°°
S ж * W ж (?()^&"i'+<) s"- <6C">
- oo
4-00
Для двойственного множества получим 4-00
^ Ф2 (S) Фг (S')dx ~ ~ 2i?na26 (g - g') для вещественных g, g',
- 00
= 0 для остальных точек,
4-00 4-0°
5 ~Щ 4lx (h) Ф2 (S/) dx~\ (S*) ~д? (S/)dx - hak 6/ь
- оо - оо
\ ж'<(W Ж'№)*=¦"'.&< + ";)",, (вс.5)
Докажем соотношения (6С.4). Из уравнений (6.163), (6.165), которым
удовлетворяют ф2 и ф^, вытекает
R
(S'2-?2) 5 Фl(Z')r2x&)dx =
-R
R
= J {ф1х(5)^ф!(5/)-ф22Й,)[^(5)-т^2(")]}^ =
-R
*= S {%х (S) f - т ф2" (S') - wl (S') +1 f vp! (s') -
