Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
коэффициент q{x,t), входящий в оператор L = -д2/дх2 - q(x, t), изменяется
в соответствии с определенным классом нелинейных уравнений, то спектр
оператора L (рассматриваемого как оператор в L2{R), например) остается
неизменным. Такие деформации называются изоспек-тральными. Можно задать
вопрос о том, какие другиеДлобаль-ные свойства операторов (илн систем
линейных операторов) сохраняются при деформациях. Два подхода следует
отметить. Один содержится в [6.98], [6.99], а второй в [6.100] - [6.102].
Каждый из них будет проиллюстрирован на примере системы
( " l)v- <6-267"
* V q
/ _ щ" _ 4tfq + 2%qx - qxx + 2q3 \
* K4?q-2iZqx-qxx + 2qa 4Д3 + 2iq% )V'
(6.268)
Условие совместности этой системы дает модифицированное уравнение
Кортевега - де Фриза
Qt - + Я ххх - 0- (6.269)
Работы по обратному преобразованию рассматривали задачу Для (6.267) на
всей прямой •-оо <; х < -|-оо. Эволюция данных рассеяния, определяемая
(6.269), весьма проста. Предположим, что теперь нас интересуют
стационарные решения q(x,t) = =* q{x - ct) уравнения (6.269). Тогда
(6.268) превращается
(X = x - ct, Т = t) в
.. ( - Щ3 - 2iq2? - i?c 4?2<7 + 2Д<7* + v \
r I 4^-2/^ + v 4/?3 + 2iq% + it,c ) (6'270)
9*
260
6. Обратное преобразование рассеяния
Уравнение (6.269) может быть один раз проинтегрировано до Цхх - 2<73 - с?
= - V. (6.271)
Пусть К = К ехр (ЛГ); так как q не зависит от Т, то из (6.270) получим
= (6.272)
При этом V удовлетворяет тому же самому уравнению (6.267) по переменной
X. Метод Кричевера [6.98] и Новикова [6.99] основан на рассмотрении
(6.272) вместо (6.267). Заметим, что условие существования 9 влечет за
собой
det (Q - %1) = 0. (6.273)
Это уравнение определяет алгебраическую кривую Р(?Д) = 0, которая
является римановой поверхностью R рода 2. Легко показать, что R не
зависит от Х\ матрица Q(^) подобна Q(X0)
в силу того, что выполнено Qx = г:;) , qJ . Зависимость от X собственного
вектора V может быть найдена из (6.267), которое теперь
играет роль вспомогательного уравнения. Оказывается, что если
вектор Р(?Д) нормирован на
j ^ е{^х в обоих бесконечностях на R, то он
является мероморфным на Р\оо, причем полюсы не зависят от X. Таким
образом, аналогом спектра в обратном преобразовании рассеяния в этом
случае служит риманова поверхность. Аналогом переменных действия служат
полюсы, поскольку они не зависят от X *).
Обратная задача ставится следующим образом. Пусть заданы риманова
поверхность R рода 2 с отмеченными точками в бесконечности и
неспециальный дивизор полюсов Pi -f- Р2. Требуется найти мероморфную на R
вне точек Р = оо функцию
К[Р(?Д),1], такую, что в беско-
нечно удаленных точках. Кроме того, V должна иметь полюса в Pi и Р2, не
зависящие от X. Такая функция удовлетворяет (6.272) и (6.267), и q(x)
может быть найдено при всех х.
Другим типом деформаций, сохраняющих определенные глобальные свойства
системы (6.267), (6.268), являются дефор-
•) На самом деле правильная интерпретация этих данных такова:
коэффициенты уравнения, определяющего риманову поверхность - это
переменные типа действия, а полюсы суть угловые переменные (полюсы не
зависят от X, но зависят от- точки нормировки и поэтому изменяются, прн
замене Х'-*-Х'- Хо). - Прим. перер. ......
6.13. Заключение
261
мации, связанные с автомодельными решениями уравнения
(6.269). Пусть
q{x,t) = -W/Г-T/rl. (6-274)
' (3/)ш L (3*)|/3 J (301/3
тогда /(т]) удовлетворяет уравнению Пенлеве второго типа
/" = 2/3 + ti/- v. (6.275
Преобразование V (х, t, ?)--> V (т), g), g=?(3/)1/3 приводит к системе
(-il
М " У (б-27б)
,-Щ3-21П-т1 4g2/ + 2/g/' + v \
6 6 I 4g2/-2ig/' + v 4г'|3 + 2г'/2| + г'л? / ( }
Рассмотрим теперь уравнение (6.277). Это система обыкновенных
дифференциальных уравнений, коэффициенты которых зависят полиномиально от
g и содержат / и ее первые две производные. Уравнение (6.277) имеет
иррегулярную особую точку | = оо ранга 3 и регулярную особую точку g = 0.
С каждой особой точкой связана матрица монодромии. Например, если Ф(!) -
фундаментальная матрица решений (6.277) в окрестности | = 0, то, обходя
точку g = 0, мы получим
Ф(|е2я') = Ф(1)7. (6.278)
Обход точки g = оо более сложен, поскольку окрестность бес конечности
разделена антистоксовскими линиями на шесть сек торов, в каждом из
которых фундаментальные матрицы ^/(g)
[е~в °1
/ = I, ..., 6, имеют асимптотику I ^ ^ I, где 0 = 4ig3/3 +,
+ гт]|. Связь матриц 4^+1 и дается множителями Стокса,
Г1 ь/1
т. е. 4Vh =±yVjAj, где = j J и ли6° Дц либо bj равно
нулю. Матрицы A], J и матрица А, связывающая ^ и Ф (iPi = ФЛ), называются
данными монодромии. Имеет место следующий замечательный результат.
Если /(т]) удовлетворяет (6.275), то данные монодромии являются
постоянными. Это аналогично сохранению спектра в задачах, связанных с
обратным преобразованием рассеяния, и сохранению римановых поверхностей,
связанных с многофазными решениями эволюционных уравнений.
Обратная задача в этой ситуации такова. Для данных Л/, A, J можно
