Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 100

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 156 >> Следующая

урав-
6.13. Заключение 25?
нений (6.255) в виде
N N-1 N-1
A = Z Ап(х, t)Zn, В= ? Вп(х, t)?, C=ZCe(x, ОС"
п=0 п-0 л = 0
(6.256)
непосредственной подстановкой (6.256) в (6.255) и приравниванием
коэффициентов при одинаковых степенях С- Приравнивание коэффициентов при
?° дает эволюционное уравнение (соответствующее одному из уравнений
класса I). Конечно, причины, по которым уравнения допускают некоторые
упрощения, кажущиеся случайными, при таком подходе остаются неясными;
например, все уравнения для Ant могут быть один раз проинтегрированы. Тем
не менее сам метод и вычисления весьма просты. Можно порекомендовать в
качестве первого упражнения проверку того, может ли данная задача на
собственные значения (например, у"" + (ру)" + qy = 1~у) быть использована
для решения уравнений в частных производных.
В настоящем обзоре мы в первую очередь стремились охарактеризовать и
классифицировать эволюционные уравнения, ассоциированные с задачами
(6.16), (6.155). Полностью аналогичный подход может быть применен и к
другим задачам на собственные значения. Например, простую и удобную
классификацию допускают уравнения, связанные с задачей на собственные
значения, предложенной Захаровым и Шабатом,
Vx = m + P(x,t)]V, (6.257)
где R0 - диагональная матрица с нулевым следом [6.57, 6.97].
С другой стороны, как уже отмечалось во введении, полный ответ на
обратный вопрос о нахождении для данного эволюционного уравнения
подходящей задачи на собственные значения, которая могла быть
использована для его интегрирования, еще не получен, хотя заметный
прогресс достигнут в этом направлении. Было бы очень важно найти
легко проверяемые
признаки, которые бы означали, что уравнение может быть про-
интегрировано.
В качестве первого шага процедуры выявления этих признаков можно записать
эволюционное уравнение в виде условия совместности
Pt~Qx + [P,Q]= 0 (6.258)
пары линейных уравнений
VX = PV, (6.259)
Vt = QV. (6.260)
Здесь элементы матриц Р и Q зависят от неизвестных зависимых переменных
эволюционного уравнения (системы эволю"
258
6. Обратное преобразование рассеяния
ционных уравнений). Например, если нам дано (6.67) с ао = = а\ - а3 = 0,
а2 - -27, то напишем
Р ~ Xi(/ХогХ$, (6.261)
где Х\, Х2, Х3 подлежат определению. Подставим (6.261) в (6.258),
используя выражения для qt и п. Нашей целью будет решение получившихся
уравнений относительно Q. Это можно делать с помощью итераций. Запишем Pt
- (Pt)o + (Pt) i + (Pt)2 по убывающим порядкам производных. Из Qo.x =
(Pt)o можно определить Q0. Величину Qi найдем из уравнения (Pf)i + + [Р,
Qo] = Qi* и замкнем систему уравнений, положив Q2 = 0. Это дает
незамкнутую алгебру Ли, порожденную Хи Х2, Х3 и постоянными матрицами,
возникшими как константы интегрирования при решении уравнений
относительно Q. Алгебру можно замкнуть, потребовав, чтобы все коммутаторы
являлись линейными комбинациями Ai, Х2, Х3 и выполнялись все тождества
Якоби. Для большинства уравнений возникающие алгебры имеют только
тривиальные решения (А,-= 0, i - 1, 2, 3, или Q ~ Р; это отражает тот
факт, что уравнение имеет локальный закон сохранения). Однако для
интегрируемых уравнений существует бесконечно много нетривиальных алгебр.
Например, для (6.67) найдем при произвольном ? представление
= _?)• х' = (о о)' Х' = С о). <6-262"
откуда следует, что (6.257) совпадает с (6.16). Для массивной
модели Тирринга или для уравнения
Qt^iQx x - (q2r)x, г - Ч1 q* (6.263)
одно пз представлений соответствующей алгебры имеет вид
/1 03 /0 13 /003
*" = -<0 -J* **"Чо о)' x^[l оУ <6-264)
Это означает, что для указанного уравнения система
v2x - iZ,v2 = irv!
есть подходящая задача на собственные значения. Наличие свободного
параметра ?, является решающим, поскольку оно позволяет строить решения
эволюционного уравнения с помощью обратного преобразования
рассеяния,построив отображение потенциалов
Р(х, /) ->Ф (х = -f оо, /, ?)
в матрицы данных рассеяния Ф для каждого значения ?. Эволюция во времени
Ф(оо, t, ?) тривиальна.
6.13. Заключение 259
Что же приводит к интегрируемости эволюционных уравнений? Ясно, что
необходима согласованность членов с высокими производными, которые в
меньшей степени нелинейны, с членами, содержащими высокую нелинейность,
но производные меньших порядков. В уравнениях, которые были рассмотрены в
этой главе, подобное соотношение было связано с тем, что эволюции величин
определялись степенями операторов (ср. LA в (6.54)). Эти операторы
содержат оператор д/дх и нелинейный оператор весьма специфическим
образом. Когда ответ на поставленный вопрос будет найден, он должен также
естественным образом показать, что если уравнение интегрируемо, то оно
всегда принадлежит целому семейству коммутирующих потоков. Каждый из этих
потоков порождается одним из бесконечного числа законов сохранения,
используемым в качестве гамильтониана.
В заключение следует упомянуть некоторые недавние достижения. Суть метода
обратного преобразования рассеяния состоит в том, что поскольку
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed