Электронные пучки большого сечения - Бугаев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Применяя к элементарному току dt закон Био—Ca вара—Лапласа, можно найти напряженность создаваемого им магнитного поля dH в точке, где находится граничный электрон. Пренебрегая при этом слабой зависимостью dH от z, получаем выражение
і Л d
dHW) = -г— -J=T=T dy¦ <1-24>
л/ <с//2) 2 + а2
где а — расстояние между элементарным пучком и граничным электроном.
Интегрирование (1.19) по у с учетом направления каждого вектора*/# показывает, что результирующий вектор /^параллелен оси ОY1 и равен ¦
H-Hy -J 3Lf (хId). (1.25)
Используя (1.25), можно получить следующее выражение для сжимающей силы:
Fmx (х, г) = -е IXoi3Lv2 (z) f {xfd). (1.26)
С учетом (1.18), (1.23) и (1.26) уравнения движения граничного электрона
(1*17) могут быть записаны в виде
dP2 _ 4
dt ~ з
eU/ z V/З dz
' ИГ
rZ
ту
dPx
dt
IW-Щ г-
Гх
ту
(1.27)
где А = ej3Uе0-
Интегрировать (1.27) следует с начальными условиями z (t =0) =0; х (t =0) ~
~i, V2 it =0) -V э; V х it =0) =0.
Заметим, что начальное значение z-компоненты скорости v э нальзя полагать равным 0, так как из (1.27) следует, что при этом Fx(x,z) обращается в оо.
Проинтегрируем сначала вторую пару уравнений (1.27). Первое интегрирование
pX
Если расширение пучка невелико, то функцию f ixfd), которая слабо зависит Of своего аргумента, можно считать постоянной, f ixit) Id) f itJd) =f и вынести ИМод знака интеграла. Это тем более обоснованно, что z-компонента скорости электрона при большом ускоряющем напряжении очень сильно изменяется со временем. Замечая, что подынтегральное выражение в (1.28) зависит теперь от времени только 40D63 V получаем
t
PxU) =Af /Ф <f))rfr; Ф(*г) = u/vz) и -V22/с2).
Второе интегрирование дает
Af * dt і f і
х (f) = * + — J ------------ J ^ („ (f2)) dt2л (1 29)
т 0 yvz (J1) о
Для нахождения функций v г (t) следует проинтегрировать первую пару уравнений (1.27). Введя безразмерные переменные ? ~x/d, 7 =cf Id, можно исходную
13
пару уравнений привести к одному дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:
У (?) d (?) - l‘ = dr; у{%) =Уо+ еи%4/3 /тс2, (1.30)
где 7о = 1/V1 — (^ э/с)2. Решением уравнения (1.30) являются функции ? (T) и У (Т) . Искомую функцию V 2 (t) МОЖНО при ЭТОМ определить выражением V2 =(с/7) X
х\/р — 1. Кроме того, уравнение (1.30) позволяет найти tp — время пролета электроном ускоряющего промежутка:
dTD
у (?)</?
tp с : Тр /
(1.31)
Из (1.30), (1.31) следует, что у (т), V2 (г) и тр зависят только от двух параметров ускоряющей системы: U и V3. Следовательно, и функция ^f(v2(t)) в (1.29) при переходе к безразмерному времени г зависит только от Un v э. С учетом этого из (1.29) можно получить следующее выражение для абсолютного расширения ПБС Ах:
Д х=х UJ -L=UdiLf (l/d) Ф (U.v3),
где
Q(U1V3) =
Є0 тс
7P dT' tI
/ у(T1) (T2)) dT2
Если пренебречь некоторой неравномерностью плотности тока в плоскости ускоряющего электрода, то относительное расширение 17 определится выражением
H=AxlL =JJ2 f(Ud)4> (Uy3). (1.32)
Вследствие ламинарности ПБС его р-расширение Xp совпадает с относительным расширением пучка, начальная ширина которого 2р/, т.е,
Xp =j3d2f(PL/d)$> (UtV3). (1.33)
Так как практически интересные значения р близки к 1, а функция f, как уже упоминалось выше, слабо зависит от своего аргумента, то Xp ъ 17.
На рис. 1.6 представлены зависимости относительного расширения 17 от ускоряющего напряжения Ut построенные на основании численных расчетов
функции Ф (U, V э). Верхняя кривая соответствует термокатоду с температурой 1,5 • 103 К (начальная кинетическая энергия электронов Wk0 =0,2 эВ). Остальные три кривые описывают расширение ПБС в устройствах с плазменным катодом. Во всех случаях d = 10 см, /э = 10 А/м2,
((Lld) полагалась равной 1, что соответствует малому отношению Lld (с
Рис. 1.6. Зависимость относительного расширения от ускоряющего напряжения при различных значениях Wk0
14
ростом Lld значение f несколько уменьшается). Для других значений у # d и L нетрудно определить г?, используя рис. 1.6 и выражение (1.32).
Анализ влияния различных факторов на расширение ПБС позволил сделать следующие выводы:
1) расширение ПБС под действием пространственного заряда уменьшается с ростом ускоряющего напряжения (см. рис. 1.6). При U = 300-^ 400 кВ расширение практически отсутствует. Как видно из рис. 1.3, с ростом U уменьшается и тепловое расширение пучка;
2) относительное расширение 17 под действием пространственного заряда снижается с ростом электронной температуры Te. Это связано с тем, что расширяющая сила Fx (х, г), как следует из (1.23), обратно пропорциональна скорости Vz . Вследствие этого в прикатодном пространстве, где Vz минимальна, на электроны действует максимальная расширяющая сила, причем максимально и время ее действия. Поэтому расширение пучка происходит в основном в прикатодном пространстве и сильно зависит от электронной температуры Te, которая определяет начальную скорость электронов vZ3. Увеличения Te можно добиться применением плазменного !эмиттера. Однако с повышением температуры эмиттера увеличивается тейповое расширение пучка. Поэтому повышать температуру эмиттера целесообразно лишь до тех пор, пока тепловое расширение пучка меньше расширения под действием пространственного заряда;
