Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
По формуле Грина поток векторного поля а через замкнутую поверхность с, ограничивающую некоторый объем со, будет
^ а• nds = ^ div a dco,
О (О
где п — единичный вектор нормали к поверхности. На основании этой формулы поток энергии через поверхность с определяется выражением
с* S гч
О (О
Аналогично для потока проекции импульса через поверхность имеем 114 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 3
С другой стороны, общее количество энергии в объеме о) в момент t равно
с-Щї-Л»,
СО
и поэтому полное изменение энергии за время Дt составляет
4' SSiSiii-+* d•) - ^StS1 <"»•
О) (О Ol
Если C2Ta^ — полный тензор энергии — импульса, то количество возникающей энергии должно равняться нулю. Следовательно, закон сохранения энергии относительно данной системы отсчета принимает вид
= 0. (48)
дх* 9
Точно так же, учитывая, что импульс, заключенный в объеме со, равен
ce?JJJ T9i da),
найдем полное изменение импульса за время Дt:
О) со ш
Отсюда закон сохранения импульса относительно данной системы отсчета будет
— = 0. (49)
дх* V '
Объединяя (48) и (49), получаем окончательную формулировку закона сохранения энергии — импульса в виде
V?r? = 0. (50)
Введение ковариантных производных вместо обычных делает эти соотношения справедливыми в любых криволи- ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ — ЙМПУЛЪСА
115
нейных координатах, а не только в аффинных, употребляющихся в этой главе повсеместно, начиная с отождествления (2).
Легко проверить выполнение закона сохранения (50) для случая потока пылевидной материи с тензором (46). Действительно, в этом случае
Однако
д (р V) = dp 1 д (Pvi) dx? ~~ dx* + с QxI '
и это выражение обращается в нуль в силу выполнения уравнения неразрывности
+ div (pv) = 0, (51)
означающего сохранение масс покоя. Далее, fl Oua і Idua , і диа\ 1 du*
cV су I--J5-
а четырехмерное ускорение Wcl равно нулю в силу отсутствия внешних сил и взаимодействия между частицами. Тем самым устанавливается справедливость закона (50) для пылевидной материи.
Перейдем теперь к более сложному понятию — тензору энергии — импульса макроскопических тел. Внутри тел будем предполагать выполненными ньютоновы уравнения — уравнение неразрывности (51) и уравнения движения сплошной среды
»T-f+^. <52>
где Ft — внешняя сила, действующая на элемент объема, a pij — тензор напряжений. Для идеальной жидкости
р« = -Pdi', (53) 116 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 3
где 6г;, так же как бі; и 6{, определяются значениями (5) гл. 2. Так как отклонения от изотропного давления в твердых телах ничтожны, то соотношение (53) будет применяться и для твердых тел.
Выражение для тензора энергии — импульса макроскопических тел получается обобщением (46) с учетом давления р:
гГ" = (сУ + р)иаи^рг^, (54)
причем
Tl00 = — 1, T)0* = 0, Tiiy = 6*\ (55)
а плотность р,* и давление р должны быть связаны функциональной зависимостью. В случае упругой жидкости, обладающей потенциальной энергией сжатия, в массу покоя входит масса, пропорциональная этой энергии. Поскольку энергия сжатия может меняться, масса покоя жидкого объема меняется. Величина ц* представляет собой плотность этой полной массы покоя, в отличие от р* — плотности неизменяющейся части массы покоя. Отдельные компоненты тензора (54) имеют значения:
Tm
1-4
I-^r
г1.
(56)
с*Г> =-?- VtVj + рЬ1'.
1--УГ
Записывая условия (50) для тензора (54), получаем соотношения
"а a? l{cY + Р) и<>1 + № + Р) W* + t^ = (57)
которые при отсутствии внешних сил дают уравнения движения сплошной среды. Умножая на находим ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ — ИМПУЛЬСА
117
отсюда
9 f/-2..* . ~\„?i___a dP
или
+ =Utjfr (58)
№ + + (59)
Если определить р* при помощи уравнения
= d^ (60) 9* P
с условием р* = р,* при р = 0, то предыдущее уравнение дает
т. е, уравнение неразрывности. Поэтому р* действительно является плотностью сохраняющейся части массы покоя. Полагая
її* = P* (і+ 5") (62)
и подставляя это выражение в (60), находим уравнение для потенциальной энергии П единицы массы жидкости
dП = (р- djx' - ц' dp-) = dp-, (63)
откуда
(64)
о
Учитывая соотношение (62) и принимая во внимание, что 118 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 3
из комбинации (57) и (58) получаем уравнения движения в виде
(C2P' + Р'П + р) и* = - Tf*1 Дг--T=^r 4г • (65)
Тензор энергии — импульса (54) примет окончательную форму
c2r? = (C2P + Р*П + р) uau? + P4?- (66)
Использованное здесь представление тензора энергии — импульса макроскопических тел было впервые обосновано В. А. Фоком (1955). ГЛАВА 4
УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Основные принципы общей теории относительности
В настоящее время к основной идее общей теории относительности можно было бы прийти чисто опытным путем. Например, лабораторные опыты последних лет показали, что частота кванта света меняется в зависимости от величины гравитационного поля (эффект Мессбауэра). Это означает по существу, что время в точках пространства с различным гравитационным потенциалом течет по-раз-ному, а так как в силу специальной теории относительности пространство и время неразрывно связаны, то, следовательно, тяготение с одной стороны и пространство — время с другой — также должны быть связаны.
