Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве иллюстративного примера рассмотрим кинематику межзвездных полетов, мыслимых гипотетически при помощи фотонных ракет. Пусть ракета движется прямолинейно, скажем вдоль оси х с постоянным собственным ускорением а (т. е. ускорением в собственной системе отсчета, постоянно связанной с ракетой). Влиянием внешних сил на полет ракеты, ради простоты, пренебрегаем. Компоненты четырехмерного ускорения в собственной системе отсчета будут
W0 = O1 W1 = -J-, W2 = O1 Ws = 0.
В любой другой инерциальной системе отсчета, в том числе в системе планеты старта — на Земле, скалярный квадрат вектора w должен сохранять свое значение W1 — аг1сА. Так как скорость ракеты будет все время направлена по оси X1 то это условие дает
1 Г / du0 \2 (du^Y] _ а2
L WW \ / J ' Дифференцируя (31), находим
du0 W du1 V
dt
I V* У/г ' dt ~~ ( V* V/. '
cV-!*) Ч1-^)
так что предыдущее условие сводится к уравнению
(-Я"
= а.
Интегрирование этого уравнения дает выражение скорости ракеты
at (38)
аНг і+-*-
откуда для пути, пройденного ракетой, имеем
<39> ДИНАМИКА ТОЧКИ
111
Собственное время ракеты определяется формулой
Строго говоря, в соответствии с (13), где V = const, можно рассматривать лишь дифференциал собственного времени dx. Однако интеграл (40) определяет некоторую вспомогательную величину, характеризующую ход времени на ракете. Подставляя (38) в (40) и интегрируя, получаем
В этой формуле и заключается вся суть проблемы — при очень большом значении времени на Земле t собственное время ракеты т течет по логарифмическому закону, т. е. гораздо медленнее, что и делает межзвездные полеты столь увлекательными. Всесторонний анализ релятивистской динамики полета фотонной ракеты дан в монографии Зенгера (Sanger, 1956).
Попутно здесь уместно упомянуть об известном парадоксе часов, долгое время служившим предметом острых дискуссий. Классическая формулировка парадокса часов состоит в следующем. Пусть в системе S покоятся часы А. Часы B1 находившиеся в начальный момент в одной точке с A1 движутся относительно них с постоянной скоростью V1 а затем После остановки движутся в обратном направлении со скоростью — и и возвращаются обратно. Окажется, что часы В отстали от А. Но в силу относительности движения можно считать, что часы В покоились, а двигались часы A1 и напрашивается парадоксальный вывод об отставании часов А. Разъяснение парадокса заключается в том, что надо рассматривать не две, а три инерциальные системы: систему S1 систему Sf1 движущуюся относительно S со скоростью V1 и систему Srf1 движущуюся относительно S со скоростью —v. В первой половине движения часы В покоятся в S', а во второй половине — в системе Sff. Если вести все рассуждения в рамках системы 5', то сначала часы А будут действительно отставать, но затем, на втором
(40)
0
112 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 3
этапе j будут двигаться и часы А (со скоростью — и), и часы В (со скоростью — 2v/(l + V2Ic2)). В окончательном итоге отстанут именно часы В. Разумеется, этот результат одинаков во всех трех системах.
§ 3. Тензор энергия — импульса
В некоторой системе S будем рассматривать поток пылевидных невзаимодействующих частиц. Выделим элемент объема d(o, в котором содержится элемент массы dm. С этим элементом объема свяжем сопутствующую систему S01 движущуюся относительно системы S со скоростью V (Ul1 U21 и3). Выделенные элементы объема и массы будут иметь в системе S0 значения <2со0 и dm0 — элементы объема покоя и массы покоя. В силу предшествующих соотношений
dm = j/l - -S-rfffl., dm- /"" , . (42)
Введем следующие характеристики плотности масс:
(43)
dmo
~~ dm о '
dmo Р*
rf<о ~~
dm р* _
с*
Vt
(44)
(45)
Ясно, что р* представляет собой плотность масс покоя в сопутствующей системе S0 (инвариантная плотность), р является плотностью масс покоя в системе »S, а р> — плотность масс в системе S (это плотность всей массы, включая массу, соответствующую кинетической энергии частиц). Тензором массы потока частиц называется тензор
r? = pW, (46)
где иа — вектор четырехмерной скорости. Тензор C2T01P росит название тензора энергии — импульса потока ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ — ИМПУЛЬСА
113
частиц. Его компоненты имеют значения
гт = C2P, С2ТЫ = cpv\ C2Tii = pyV. (47)
Временная компонента этого тензора C2T00 представляет собой плотность энергии. Смешанная компонента C2Toh — это умноженная на с плотность проекции импульса на ось і или, что то же, деленная на с плотность потока энергии в направлении этой оси. При этом плотность потока величины в направлении некоторой оси определяется как количество величины, протекающее через площадку, перпендикулярную оси, и отнесенное к единице времени и единице площади. Наконец, пространственная компонента C2Tiі является плотностью потока проекции импульса на ось і в направлении оси j (или наоборот).
Поток пылевидных частиц представляет собой простейший случай движущейся материальной среды. В более общих случаях тензором энергии — импульса называется дважды контрвариантный симметричный тензор, компоненты которого имеют вышеуказанный смысл. Важнейшее свойство полного тензора энергии — импульса, учитывающего все виды материи, играющие роль в той или иной конкретной физической задаче, состоит в законе сохранения. Аналитическую формулировку закона сохранения можно получить следующим путем.
