Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
AfM2 =—(х° — х° f + (Ї1 — X1)2 + (?2 — xj + (Я3 — я3)2.
(3)
Поэтому пространство событий, рассматриваемое в специальной теории относительности, может быть взаимнооднозначно отображено на четырехмерное псевдоевклидо во пространство индекса 1. Переход между различными инерциальными системами сводится, таким образом, к преобразованию ортонормированных реперов. В общем случае это преобразование зависит от п (п + 1)/2 = 1*0 параметров, четыре из которых связаны с возможностью произвольного выбора начальной точки (однородность пространства и времени), три параметра обусловлены возможностью произвольного поворота пространственных осей (изотропность пространства), а остальные три параметра представляют собой компоненты скорости поступательного движения одной инерциальной системы относительно другой. G точностью до тривиального преобразования переноса и поворота этот переход от одной инерциальной системы к другой описывается формулами (37) гл. 2. В первой из этих формул из физических соображений сохраняется лишь знак «+» (иначе время в разных системах текло бы в противоположных направлениях). Знак во второй формуле не существен, и можно поэтому оставить лишь знак «+» (отрицательный знак означал бы просто изменение направления оси я1). В силу (2) эти формулы примут вид § 1] ФОРМУЛЫ ЛОРЕНЦА 99
Для выяснения физического смысла ? рассмотрим точку Р, закрепленную в 5", т. е. имеющую постоянные координаты xf, у', z'. Дифференцирование по времени t трех последних формул (4) дает
-^ = Bс 0 — =0
dt pc^ dt и' dt и-
Таким образом, рассматриваемая точка P движется относительно системы S с постоянной скоростью V-^C в направлении оси х. Следовательно, и вся система St поступательно движется относительно S с этой скоростью. Итак,
P=-Ь (&)
где V — скорость поступательного движения S' относительно S и согласно неравенству (31) гл. 2
-сО<с. (6)
Подстановка (5) в (4) приводит к знаменитым формулам Лоренца, дающим переход от одной инерциальной системы к другой:
V
лг ~~ C1 Х , — vtX , , /г?ч
'=Tттщ* х=7гтщ?> У=У> z=z- <7>
Формулы (7) относятся к частному случаю движения системы S' относительно S вдоль оси X. Чтобы получить более общее преобразование, пригодное для любого направления вектора относительной скорости v системы S', разложим вектор г на составляющие г ц и направленные соответственно параллельно и перпендикулярно направлению v. По формулам (7) будет
V
V1 — V2Ic2 ' Г|1 V1 — ' Г± ґ±'
Но так как
г, =
А* 100 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 3
и
г==г1 + r'= rII + rI-
то окончательно
Vl -VVci '
г' = + (тг=^- - *) - л) -S-
(8)
Более общие формулы (8) содержат три параметра — составляющие относительной скорости V. Недостающие семь параметров добавляются за счет тривиального преобразования переноса начала системы отсчета и поворота пространственных осей.
При с = оо преобразования Лоренца (8) переходят в преобразования Галилея.
Рассмотрим кратко основные кинематические следствия из преобразований Лоренца, начиная со ставших классическими примеров движущихся материальных стержней и часов.
1. Сокращение продольных размеров движущихся тел. Пусть материальный стержень, покоящийся вдоль оси х' системы iS", имеет длину I = X2 Xi, Относительно системы S он движется со скоростью и в направлении оси х. Его длина V = = х2 — X1 в системе S — это расстояние между абсциссами X1, X2 его концов, взятыми в один и тот же момент времени t по часам системы S. Поэтому по (7)
— vt 4- хг ' — vt 4- Xi
/у --1 --'
' 1 \fi — V2Ici ' V1 — ^Vc2 '
откуда
l' = lY I--J. (9)
Таким образом, стержень, имеющий длину Z в той системе, где он покоится (собственная длина), имеет длину Г, определяемую по (9), в той системе, относительно которой он движется со скоростью V в продольном направлении. § 1] ФОРМУЛЫ ЛОРЕНЦА
101
2. Относительный характер одновременности. Рассмотрим два события M1 и M2. Согласно (7) имеем
V
h — t\ — —(хг — хг)
,/ и - (10)
V
Если t2 = tl9 но х2 =f= X1, т. е. если M1 и M2 — одновременные события относительно системы S, происходящие в разных ее пространственных точках, то t2 =f= t[, и, таким образом, относительно системы S' эти события не являются одновременными.
Пусть два события таковы, что промежуток времени между ними больше, чем то время, которое требуется свету, чтобы пройти расстояние между ними, т. е. пусть
I«. - «11 > 4" - xJ2 + (у* - У')2 + - zO2-
Отсюда вытекает условие
- (Ct2 - Ct1)2 + (X2 - X1Y + (у2 - у ,у + (Z2 - Z1)2 < О, (И)
носящее инвариантный характер. Такие события называются последовательными, и если J1 < t2, то и в любой другой системе событие M1 предшествует событию M2 (т. е. и Интервал (11) между такими событиями называется времениподобным. При этом оказывается возможным ввести такую систему отсчета, в которой M1 и M2 происходят в одной точке пространства. Например, для систем S и S', связанных преобразованиями (7), достаточно принять и = (х2 — х^)Kt2 — Z1), чтобы получить X2 = х[.
