Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
бле' = у=7 Р-Че'л*, (i6.i.5.ia)
6Л02 = pfd^Ai, (16.1.5.16)
6аХа = Z0VM1 + г'02ул6д02, (16.1.5.1 в)
6л(V-^ = 0- (16.1.5.1г)
Является ли это преобразование действительно новой калибровочной инвариантностью, подразумевающей дальнейшее вырождение кинетического члена в действии (и необходимость в собственных духах Фаддеева — Попова и т. д.), или это калибровочное преобразование тривиального типа?
Легко видеть, что любое действие S [ql] всегда обладает инвариантностью
6<7г=-^ег/, (16.1.5.2)
6 ql
где величина е!/ = (—)е<е/+1е/г совершенно произвольна. В самом деле, имеем
= ТТ = ХТТТ &ti = 0> (16.1.5.3)
bq о q о q!
где zt — грассманова четность q*.
250
Глава 16
Но это преобразование тривиально, поскольку исчезает на связях и не означает само по себе наличия какого-либо вырождения в действии или неоднозначности в задаче Коши. Поэтому важно установить, является ли (16.1.5.1) действительным калибровочным преобразованием или же преобразованием тривиального типа (16.1.5.2).
Наша цель состоит в том, чтобы показать, что преобразование (16.1.5.1) сводится к соответствующему суперкалибровоч-ному преобразованию (16.1.3.5), если использовать уравнения движения. Соответственно ничего нового не возникает.
Упражнение. Рассмотрите действие S[<7‘], инвариантное относительно преобразований, исчезающих на связях. Покажите, что эта инвариантность с необходимостью должна быть вида
(16.1.5.12),где е{/ = (—)8‘Е/+1 ен, если уравнения движения независимы. (Если они не являются независимыми, то использование их зависимости опять-таки позволяет записать инвариантность в виде (16.1.5.2).)
Уравнения движения для 0 можно переписать в виде
=0, (16.1.5.4а)
улсИд+02 = О. (16.1.5.46)
Вместе с уравнениями для метрики (сол)2 = (сИ)2 = 0 соотношения (16.1.5.4) предполагают, что
д_9' = Ул<0+^’> (16.1.5.5а)
<3+62 = S2. (16.1.5.56)
Упражнение. Выведите уравнения (16.1.5.5).
Далее, уравнения (16.1.5.5) позволяют представить преобразования (16.1.5.1а) и (16.1.5.16) в виде
бл0' = V— g d_WA+ = V— g Ул<5'Л+, бд02 = g улаИ52Л_,
что согласуется с (16.1.3.5а) и (16.1.3.56) при 2tx1_ = V— gS1 А+ и 2i%2 — д/—g S2A_. После того, как это установлено, эквивалентность соотношений (16.1.5.1 в) и (16.1.3.5в) следует немедленно. Остается проверить, что преобразование (16.1.3.5г) исчезает на связях, когда я1 и к2 задаются приведенными выше
Суперструна 251
выражениями. Это можно сделать так:
(л/^ёП = -s^Va^yXs1 + kWAjh^S2) = О,
поскольку матрица Су а симметрична; здесь «р и № — введенные выше изотропные векторы.
Можно сделать заключение, что преобразование (16.1.5.1) не есть дополнительная локальная инвариантность, а сводится к (16.1.3.5) на связях. Поэтому система координатных и супер-калибровочных преобразований при использовании уравнений движения замкнута.
16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
Суперзаряды Пуанкаре вычисляются путем применения теоремы Нётер. При этом имеется одна тонкость. Действительно, действие при преобразованиях суперсимметрии инвариантно только с точностью до полной дивергенции, поэтому сохраняющийся суперсимметричный ток содержит дополнительный вклад от этой дивергенции.
Трансляционный ток задается выражением
Я = -s+
+ ikr (р-0 V/ + C0V/)> (16.1.6.1)
а лоренцевы токи — выражением
й. =/ГА 8‘W*1 {р*:< + ТГ е“'5ЧЧв') -
(РЧЧ - e"e!v4e2) ¦ (16.1.6.2)
Выражение для суперсимметричных токов может быть получено из уравнений
Q^ = /YV-^- + -4f------У* (16.1.6.3а)
°Л, ц ц
= + ----Y\ (16.1.6.36)
дХ, р. дв.
где У1»1 и У2^ — полные дивергенции, на которые преобразуется действие при суперсимметриях. Свойство Фирца (16.1.2.5) позволяет записать
У'»* = ^7-Ул01е^(адл + уё1ул^01)) (16.1.6.4а)
(~idvXA — у Q2yAdv&) , (16.1.6.46)
252
Глава 16
поэтому
Ql* = ~ IZr Y*9' (У”S' P+V< + X ^ёЧЧ0') • (16.1.6.5a)
^ = -~ёг^ ( V=7^4 - |-е^02уЧ02) • (16.1.6.56)
В случае замкнутой струны соответствующие заряды, получаемые интегрированием по пространству временных компонент токов, автоматически сохраняются как следствие уравнения непрерывности.
