Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Суперструна
247
ными суперсимметриями”. Следует, однако, помнить, что эти параметры являются двумерными векторами. Новые калибровочные преобразования не вполне поняты (об этом подробнее см. ниже), неясно также их отношение к двумерной супергравитации1). Это является, вероятно, одной из причин того, что ковариантное квантование суперструны до сих пор не проведено до конца.
Добавочная калибровочная инвариантность дает достаточно ¦свободы для фиксации калибровки, в которой теория может быть полностью разрешена как на классическом, так и на квантовом уровне. Без этой калибровочной инвариантности о квантовой теории, по-видимому, ничего нельзя сказать, так что мы отвергаем случаи а ф —\/2па'2) из соображений простоты.
Таким образом, окончательно ковариантное действие суперструны имеет вид
1 = ~ -щ- ~
- шг &>*д*-хл (ёЧ’Ае! - 02у..ле2) +
+ ^6V^9'62Y^e2. (16.1.3.9)
Это действие найдено Грином и Шварцем [56].
16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
Уравнения движения, определяемые из лагранжиана (16.1.3.9), имеют вид
(16.1.4.1)
дк W^g (gMd^XA - 2iP^Qly%01 -2/Р+*02уЛ<Зц02)] =0 (16.1.4.2) и
= 0, (16.1.4.3а)
улсолР^02=О. (16.1.4.36)
Первое уравнение получается при варьировании действия по компонентам метрики gllA, которые входят в Lx только посредством унимодулярной комбинации д/—g g^ (действие вейль-
*) По этой причине потребовалось некоторое время, чтобы осознать, что эти калибровочные преобразования присутствуют даже в простейшем случае суперчастицы (см. работу f61"}).
2) Значение а = —\/2яа' получается из а= 1/2яа' перестановкой 01 и 02.
248
Глава 16
инвариантно), так что среди уравнений (16.1.4.1) независимых только два: след уравнений (16.1.4.1) тождественно обращается в нуль.
Смысл уравнений (16.1.4.1) снова состоит в том, что метрика на мировой поверхности струны (в суперпространстве) вейлевским преобразованием может быть приведена к соответствующей индуцированной метрике (0Л©Л1Х. Следовательно, изотропные направления для совпадают с изотропными направлениями для что и утверждалось ранее в уравне-
нии (16.1.3.6). (Непосредственное доказательство уравнения (16.1.3.6) из (16.1.4.1) проводится следующим образом. Введем два изотропных вектора kk, ri", таких что g^ = — — k^n^.
Запишем сол = (й^?я + солпя. Покажем, что уравнения (16.1.4.1) подразумевают м^(ол+=0, со^сол_=0, т. е. ю+люл+^=ю+®л4А^|1= = 0, ©1я<ол_11 = 0.)
Уравнение (16.1.4.2) получается варьированием по ХА. Что же касается уравнений (16.1.4.3а) и (16.1.4.36), то они эквивалентны уравнениям для 0-поля и могут быть из них легко получены с помощью Хл-полевых уравнений (16.1.4.2) (и некоторых преобразований Фирца).
В случае замкнутой струны поля естественно выбираются периодичными по сг, так как все они являются двумерными скалярами. В случае же открытой струны уравнения движения
(16.1.4.1) — (16.1.4.3) должны быть дополнены граничными условиями, которые мы теперь определим.
Граничные условия для открытой суперструны должны быть таковы, чтобы при варьировании действия не возникало нежелательных поверхностных членов. Это будет иметь место, если на концах наложить условие [56]
01 =92 (16.1.4.4)
вместе с условием
со41 = 0. (16.1.4.5)
При выполнении последнего условия варьирование ^ Z,, d2x не
приводит к появлению поверхностного члена при а = 0, л. Сле-
довательно, нужно проверить лишь ^ L2d2x.
Легко видеть, что условие (16.1.4.4) гарантирует отсутствие
граничных членов при варьировании ^L2d2x по ХА. Проверка
этого факта для случая варьирования по 01 и 02 непосредственна и не будет здесь воспроизводиться.
Суперструна
249
Граничные условия для замкнутой струны (16.1.4.4) предполагают, что 01 и 02 имеют одинаковую киральность. Кроме того, две глобальные суперсимметрии должны быть соотнесены так, чтобы сохранить условие (16.1.4.4). Поэтому остается только одна глобальная суперсимметрия, а это означает, что открытая суперструна является N = 1-киральной теорией.
В случае замкнутой струны существуют две возможности в соответствии с тем, обладают ли 01 и 02 одинаковыми (теория Б) или противоположными (теория А) киральностями. Без каких-либо дальнейших ограничений эти теории имеют две суперсимметрии (N = 2).
16.1.5. Структура калибровочных симметрий
Как отмечалось выше, суперструна обладает тремя различными типами калибровочной инвариантности: репараметризационной инвариантностью, вейлевской инвариантностью и локальной фермионной симметрией. В то время как первые два типа инвариантности образуют истинные группы преобразований, последний обладает более сложной структурой. Вычисление антикоммутатора двух “суперкалибровочных” преобразований приводит к преобразованию очевидно нового типа (плюс члены, исчезающие на связях). Это “новое” преобразование имеет вид [56]
