Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
104
Глава 12
в квантовом случае были различными для разных теорий, несмотря на то, что классические уравнения движения и в том, и в другом случае совпадают. Это имеет непосредственное отношение к обратной задаче вариационного исчисления (см., например, работу [6], а также работы, которые там цитируются).
б. На квантовом уровне исключение вспомогательного поля Yag осуществляется не так просто, как в классической теории. Только при d =26 восстанавливается эквивалентность действий
(12.1.2.1) и (12.1.1.6) [7а].
Упражнения
1а. Получите действие в квадратичной форме для свободной частицы исходя из действия —т ^ ds. Покажите, что необходимо включить “космологический член”, и найдите его связь с массой т.
16. Из действия —m^ds выведите действие в гамильтоновой форме Sh-
1в. Покажите, что если проинтегрировать (в Sh) по каноническому импульсу рл, сопряженному ХА, то мы получим действие в квадратичном виде. Покажите, что лагранжев множитель N, соответствующий гамильтонову условию “массовой поверхности” р2 -f- т2 т 0, связан с метрикой goo на мировой линии частицы.
1г. Покажите, что и квадратичное действие, и Sh правильно описывают безмассовый случай в пределе т = 0.
2. Выведите квадратичное действие для релятивистской мембраны. Покажите, что в этом случае также необходимы космологический член (вейлевская инвариантность отсутствует).
12.1.3. Интерпретация действия в терминах а-модели
Действие (12.1.2.1) относится одновременно к двум различным пространствам: двумерному пространству с координатами ха= = (т, ст) и d-мерному пространству Минковского Md, в котором координатами являются скалярные поля. Последнее является фактор-пространством группы Пуанкаре по группе Лоренца Md = Poincare/Lorentz.
Произвольное поле ХА (т, ст) задает отображение из одного пространства в другое. Те отображения, при которых действие
(12.1.2.1) является экстремальным, называются в математической литературе “гармоническими отображениями”, а выражение (12.1.2.1) — “функционалом энергии”. В физической литера-
Струна Намбу — Гото: классический анализ
105
туре такая модель называется “ст-моделью”. (Значение гармонических отображений для физики обсуждалось Мизнером [76], а также в цитированной им литературе.)
Интерпретация действия в терминах a-модели слабо отражает геометрическое значение действия Намбу — Гото (площадь поверхности), а больше внимания сосредотачивает на теоретикополевых аспектах теории. Эта интерпретация окажется особенно полезной при обсуждении струн на искривленном фоне, а также суперструн.
12.1.4. Калибровочные симметрии
Действие Намбу — Гото очевидно инвариантно относительно замены координат, поскольку площадь является геометрическим инвариантом.
Инфинитезимальные замены координат приводят к следующим преобразованиям полей:
бХл = 26|Хл = бЕаХла, (12.1.4.1)
где Йб? — производная Ли по направлению двумерного вектора <5|“. Соотношение (12.1.4.1) отражает тот факт, что ХА являются двумерными скалярами.
При преобразованиях полей ХА по правилу (12.1.4.1) возникает следующая вариация лагранжиана:
6& = Ъй12 = (Ыа2\а (12.1.4.2)
{2? является двумерной плотностью). Следовательно, вариация действия сводится к интегралу по границе (линии):
6S = §6Ba^dSa (12.1.4.3)
и, конечно, равна нулю для тех преобразований координат, которые на границе обращаются в нуль.
Квадратичное действие (12.1.2.1) также обладает инвариантностью относительно замены координат, и преобразование метрики Yag имеет вид
6Yap = Vap = Y + 6CaYvp + ^>„у (12.1.4.4)
Кроме того, как мы уже видели, квадратичное действие также обладает вейлевской инвариантностью (преобразования <12.1.2.6)).
106
Глава 12
12.1.5. Глобальные симметрии
Струна распространяется в d-мерном пространстве-времени, которое является плоским, поэтому имеется пуанкаре-инвариантность.
Симметрия по отношению к группе Пуанкаре в данном случае похожа на внутреннюю симметрию (этот тип симметрии характерен для о-моделей), и она связывает преобразованием различные поля, взятые в одной и той же точке ха:
(выражения (12.1.5.1) не содержат производных).
Используя метод Нётер, получаем d(d-\- 1)/2 сохраняющихся токов, удовлетворяющих уравнению непрерывности daja = 0. Это токи, соответствующие трансляциям:
(угловой момент).
В случае замкнутых струн заряды, очевидно, сохраняются вследствие уравнения непрерывности, так как в системе, в которой нет границ, не может быть ни входящего, ни выходящего потока. В открытых струнах заряды сохраняются только в том случае, если выбрать подходящие граничные условия при сг = 0 и о —л, которые запрещают поток через эти границы (см. разд. 12.1.7).
12.1.6. Конформная симметрия
Среди преобразований координат ха х'а = fa (х^) есть такие* при которых метрика умножается на локальный фактор. Эти
