Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
3. Повторите упражнения 1 и 2 для случая искривленной фоновой метрики т\Ав{Хс)- Указание. Добавьте просто символы Кристоффеля Глвс в уравнения движения и другие соотношения, чтобы удовлетворялось требование общей ковариантности по отношению к фоновой геометрии. ХА,а преобразуется как d-мерный вектор и 2-мерный ковектор (см. [5], разд. 52).
12.1.2. Действие в квадратичной форме
Действие S [Х4 (х“) ] имеет один недостаток: оно не квадратично по полям. Это вызывает серьезные трудности при квантовании струны методом интеграла по траекториям, так как в обычной лагранжевой форме интеграл по траекториям определен только для квадратичных действий.
Можно улучшить состояние дел, если ввести вспомогательные поля, т. е. поля без распространяющихся степеней свободы, удовлетворяющие алгебраическим (в противоположность дифференциальным) уравнениям. Цель их в данном случае состоит в том, чтобы придать действию квадратичную форму.
Оказывается, что необходимые вспомогательные поля пропорциональны метрическому тензору gag двумерной поверхности,
102
Глава 12
которую заметает струна. Таким образом, квадратичная форма действия задана выражением
5 (*“), Yap Ш = - 4^?\<Px V=v Уа*даХ%ХА. (12.1.2.1)
Ниже мы увидим, что это действие (здесь ХА и уар варьируются независимо) эквивалентно старому действию. Прежде чем перейти к доказательству, мы немного отвлечемся и исследуем эту новую интерпретацию действия, которая имеет больше сходства с теорией поля.
Выражение (12.1.2.1) можно рассматривать как действие, описывающее d безмассовых скалярных полей Хл в двух измерениях (одно поле Х° имеет неправильный знак перед кинетическим членом), распространяющихся на искривленном фоне Более того, так как в выражении (12.1.2.1) компоненты метрики yap тоже нужно варьировать, мы должны смотреть на “гравитационное поле” YaB не как на заданное фоновое поле, а скорее как на некоторое приспособляемое поле, взаимодействующее со скалярными полями.
Это наводит на мысль, что, может быть, к выражению
(12.1.2.1) нужно добавить кинетический член для yap, т. е. действие Эйнштейна — Гильберта, а также космологический член. Но действие Гильберта в двух измерениях оказывается тривиальным (вариация лагранжиана R д/—у является полной дивергенцией), в то время как космологический член приводит к противоречиям, так как он нарушает вейлевскую инвариантность. Поэтому действие (12.1.2.1) является вполне удовлетворительным в том виде, в каком оно записано, даже в свете новой интерпретации.
Что новое действие (12.1.2.1) эквивалентно предыдущему, можно показать следующим образом. Уравнения движения, полученные вариацией действия (12.1.2.1) по отношению к метрике yap, имеют вид
SS/6Yap = 4- TafiliX) + y=Y YaP = 0, (12.1.2.2)
где мы на время добавили космологический член, чтобы показать, что он должен быть равен нулю, и Та$(Х) — тензор энергии-импульса d скалярных полей для двух измерений:
Тар W = — ъяг [т YapY^P^, а ~ X?*XAt J . (12.1.2.3)
В двух измерениях безмассовое скалярное поле конформноинвариантно, откуда следует, что след тензора Тар тождественно равен нулю. Это можно явно получить из выражения
Струна Намбу — Гото: классический анализ
103
{12.1.2.3). Взятие следа от выражения (12.1.2.2) дает
0 + Я д/—у = 0 =>- А, = 0,
поэтому мы положим, что X = 0.
С учетом того, что Л. = 0, уравнения движения для Yap означают, что полный тензор энергии-импульса d скалярных полей ХА равен нулю:
(12.1.2.4)
(число независимых уравнений здесь равно двум, а не трем, так как Та$ — бесследовый тензор). Общее решение уравнения
(12.1.2.4) имеет вид
уа^=^даХлдъХА, (12.1.2.5)
где р — произвольная функция. Таким образом, вспомогательное поле уар связано конформным преобразованием с индуцированной метрикой даХлд$ХА с неопределенным конформным ¦фактором.
Точное значение конформного фактора в действительности несущественно вследствие вейлевской инвариантности, т. е. инвариантности действия (12.1.2.1) при вейлевских масштабных преобразованиях:
Yap-> <?2Yap, (12.1.2.6а)
ХА^ХА. (12.1.2.66)
Следовательно, мы можем положить уар = gap. Если исключить из действия (12.1.2.1) вспомогательное поле уар подстановкой
б действие решения его уравнений движения, а именно
(12.1.2.5), то мы получим правильное исходное действие Намбу— Гото. В этом смысле теории, основанные на действиях
(12.1.1.6) и (12.1.2.1), эквивалентны, так как произвольное развитие во времени полей ХА (ха), даже не удовлетворяющих условию массовой поверхности, они учитывают с одним и тем же весом. (Что касается вспомогательного поля, то оно обязательно должно удовлетворять условию массовой поверхности
(12.1.2.5), иначе сравнение будет невозможным.)
Замечания, а. Чтобы доказать эквивалентность теорий, основанных на действиях (12.1.1.6) и (12.1.2.1), недостаточно лишь проверить, что соответствующие классические уравнения движения имеют одинаковые решения. Необходимо также показать, как это и было сделано выше, что совпадают сами действия, в том смысле, что действие (12.1.2.1), в котором вспомогательное поле исключено с помощью его уравнения движения, оказывается действием (12.1.1.6). Если бы этого не было, то скобки Пуассона полей X, а, следовательно, их коммутаторы
