Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
дХА дХв /ю 1 1 о ч
Т|лв дх дх ^ ’ (12.1.1.3а)
(12.1.1.36)
где сигнатура выбрана в виде цав — (—, +, +, ••• +)•
Данное вложение индуцирует метрику на поверхности
ХА (т, о), заданную явно в виде
дхЛ дХв , ,,
г"»=(12ЛХ4)
В качестве метрики фонового d-мерного пространства, в котором осуществляется вложение, мы возьмем плоскую метрику Цав- Не можно искривить; в классической теории это не приведет к существенным изменениям. Но в квантовой теории появление кривизны приводит к значительным усложнениям; в общем случае произвольного фона такая задача до сих пор полностью не решена. Поэтому мы выбрали плоскую метрику. Некоторые последствия кривизны, которые влияют на определение критической размерности, кратко рассмотрены ниже.
Площадь поверхности, которую заметает струна, определяется выражением
А[ХА (*“)] = $ (Px^J—Wg, (12.1.1.5)
где (2>g — детерминант матрицы ga$, который отрицателен, так как gap имеет сигнатуру (—, + ).
Действие свободной струны пропорционально площади
(12.1.1.5) и, следовательно, задано в виде1)
я(откр.струна)
Xi 2я(замкн. струна)
S [**(*«)] = - -^r\dx J de^J~=vTg. (12.1.1.6)
%\ О
Для замкнутых струн выражение (12.1.1.6) нужно дополнить периодическими граничными условиями:
ХА(х, 0) = ХА(т, 2л) (замкнутые струны). (12.1.1.7)
') Выбор верхней и нижней границ интервала а зависит от соглашения. Мы придерживаемся здесь первоначальных обозначений.
100
Глава 12
(В этом случае интеграл по о фактически можно брать по любому интервалу длины 2я.)
Выражение (12.1.1.6) есть действие Намбу — Гото [1,2]. Постоянная а' имеет размерность квадрата длины в единицах Й. Поэтому в теории появляется масштаб для массы (а')~1/2. Когда дуальные модели использовались для описания адронного мира, эта масса выбиралась порядка 1 ГэВ. После коренного перелома в развитии и перспективах, связанного с работой Шерка и Шварца [3], а' берется порядка массы Планка (~ 1019 ГэВ), так как считается, что теория струн является единой теорией всех взаимодействий.
Замечание. Действие частицы можно обобщать и дальше на высшие измерения, т. е. можно рассматривать протяженные объекты больших размерностей (например, «мембраны»), для которых действие пропорционально их пространственно-временному объему. О квантовой теории релятивистских мембран известно совсем немного. Неясно даже, является ли она последовательной теорией. Поэтому мембраны не вызвали большого интереса (тем не менее см. работу [4], где приведен ряд интересных достижений).
Упражнения
1. Из действия Намбу — Гото выведите явно уравнения движения. Покажите, что они записываются в виде
? ХА = 0,
где ? — ковариантный лапласиан, построенный по индуцированной метрике g^, которая задана выражением (12.1.1.4).
2а. Покажите, что проекции уравнений движения на касательные векторы ХА,а в действительности являются тождествами, Х\ ? ХА = 0, так что независимыми являются только d — 2 уравнений. Это выражение является следствием репараметри-зационной инвариантности действия.
26. Пусть Д= 1, 2, . . ., d — 2, — набор d — 2 ортонор-мированных векторов, перпендикулярных мировому листу:
РА У ¦— П РА Р А — Л
Ь(Д)ЛЛ, а &(Д)ь(Л)л <Л)(ЛС
«Вторая фундаментальная форма й(д)ар» поверхности ХА = = ХА(ха) определяется уравнением
ув __ о Р УА -J_ и №hA
А, а%Д). В “(Л) а Л, 0 "Т И(Д) 5(2)
(см. [5], разд. 47). При параллельном переносе вектора нормали по отношению к (/-мерной фоновой геометрии этот
Струна Намбу — Гото: классический анализ
101
вектор поворачивается. Величина этого поворота параметризуется ар и n(Af2> и является мерой искривления двумерной поверхности ХА = ХА(ха) в фоновом пространстве.
Если d — 2=1, последний член в приведенном выше выражении отсутствует. В общем случае Ц(д>(2) определяет инфини-тезимальные SO(d — 2)-вращения. При замене нормальных векторов (которые определены с точностью до SO(d~2)-вращения), 0(д)аР преобразуется однородно, как SO(d — 2)-вектор, а Ц(д)(2) преобразуется неоднородно [5].
Покажите, что
о zA Y
bi(A)aP 5(А)лЛ; а|3’
где символ обозначает ковариантную производную по метрике gap. Следовательно, й(д>ар — симметричный тензор второго ранга при любом значении А.
2в. Средняя кривизна Й(Д) определяется по формуле ?2(Д) = = Q(A)apgaP. Выведите из этого, что струнные уравнения движения полностью эквивалентны уравнению
й(А) = 0,
т. е. условию нулевой средней кривизны для любого направления вдоль нормалей.
