Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Проекторы Р+ и Р~ определяются выражениями
0\ . /О 04
р ло о)’ р =(о lj’
а матрица у11 принимает вид
У \0 -уЧ’
(В.9)
где у9 = Y1 • • • Y8-
Спинор, удовлетворяющий соотношению y+^ = 0. такой как if-, имеет только верхнюю компоненту, тогда как спинор, удовлетворяющий соотношению у-\|) = 0, такой как aj?+, обладает лишь нижней компонентой:
* = (“)- ¦' = (о)- *+ = (“)‘ (в-10)
Если г|э — вейлевский спинор определенной киральности, например
Yii^ = ^. (В.11а)
его SO (8)-компоненты и и v также обладают определенной 8-мерной киральностью (уп коммутирует с Р+ и Р~). Конкретнее, находим
Y 9и = и, y9v — — V. (В. 116)
Можно показать, что и и v образуют неэквивалентные неприводимые восьмимерные представления группы 50(8) (спинор-ного характера). Они обозначаются символами 8S и 8С соответственно. Другое восьмимерное представление группы 50(8) 80 является векторным.
Из нашего обсуждения следует, что вейлевский спинор, удовлетворяющий световому калибровочному условию -у+0 = 0, принадлежит представлению 8S группы 50(8) (с нашими обозначениями) .
При работе со светокалибровочными спинорами удобно использовать 50 (8)-терминологию и записывать все с помощью SO (8) -инвариантных скалярных произведений
Z 0* V (В. 12)
а = 1
(=2a=i®aV! для майорановских спиноров).
284
Приложение В
Соответствующие правила имеют вид
0°, а= 1, ..32->0а, а=1, 8, (В.13а>
0я|з->Е0>°. а = 1, • • ¦, 8, (В.136)
а
V2 Z 'Л?'1!" (В.13в>
а
и т. д. (В (В. 136) я|з— вейлевский спинор со спиральностью, противоположной спиральности 9, удовлетворяющий условию Y-i|) = 0; T)i и т|2 подобны 9.)
Описанное выше светокалибровочное разложение, разумеется, может быть проведено для любой пары изотропных векторов пА и гА, удовлетворяющих соотношениям
п2 = г2 = 0, плгА = — 1. (В. 14)
Нужно просто заменить у+ и у~ на п и г соответственно, где г = гАуА и п = пАул-
Предположим, что 9 — произвольный майорана-вейлевский спинор. Вместо разложения его на 9+ и 0“ удобно также представить его в виде
e = Ti + p?, (В. 15а)
где г] и ? удовлетворяют соотношениям
Y+T) = -y+? = 0 (В. 156)
(т} и 0 обладают одинаковыми киральностями, а Е; — противоположной). Вектор рА в уравнении (В. 15а) изотропен (например,, им может быть вектор для суперструны, или рА для супер-частицы) .
Теперь мы выведем некоторые уравнения, связанные с разложением (В. 15), в обозначениях, примененных в соотношениях (В.14):
9 = 'Ч + ^, (В. 16а)
пт| = п? = 0 (В. 166)
вместо системы (В.15а) и (В. 156). Во-первых, легко проверить, что преобразование (В. 16) несингулярно и обратимо, если Рапа ф 0, как мы принимаем. Конкретно имеем
<В-17а>
Ч“0--2тЬр)РЛв- <В17б>
Далее имеют место следующие тождества, справедливые для любых майорановских спиноров, удовлетворяющих условиям
Разложение десятимерных спиноров 285»
nh = nl2 = 0:
iiS2 = О, (В. 18)
iiY.4?2= —пА1Лъ (В. 19)
«4iiY^cEi = 0. (В.20)
Уравнения (В.18) и (В.19) получаются подстановкой соотношения (fn + nr) ( — '/2) = 1 в |^2 или IiYa^2 и использованием соотношения
kl= — \k (В.21)
(=ф-й§! = = 0). Соотношение (В.20) есть прямое след-
ствие соотношений |^л»1 = — iiY'4?i = 0 и /г?1=0.
Из уравнений (В.16), (В.20) и (В.21) следует
nB8yABCQ = 2nBf\yABCp?, (В.22)
а соотношения (В. 18) и (В. 19) легко дают
0р0 =(п- р) [— fjrfi + p%rt] + fjppt,. (В.23)
Последний член этого уравнения может быть преобразован сле-
дующим образом:
т\ррЪ = х\улвсpt,pаРвР-с (« • р)-' (В.24)
путем подстановки (пр + рп) (2п-р)-1 = 1 и использования хорошо известного тождества:
~ уАВС -Ь t^syc “Ь цвсуА — х\АСув (В.25)
(и тождества (В. 18)). Подстановка выражения (В.24) в уравнение (В.23) дает
ере = (га • р) [— fjrf] + p%ri] + цуАВСрйрлрвПс («• р)~х• (в-2 6>
Это соотношение используется в основном тексте (разд. 16.3.6).
Литература
