Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
I Ь) = | а) + | р) т!*и + | у) + I б) цмГм, (А.6)
где |а>, |Р>, |y> и |б> — состояния, не содержащие нулевых
духовых мод (п ^ М) и тоже уничтожаемые операторами at
и ctn (п> М). Легко вычислить Q'\b>:
Q' | b) = Q'M_, | Ь) + ш+* | у) — ia+m | 6} —
— ia+ | a) r]*M — iaM \ у) цм^"м, (A.7>
где Qm_i = i Eo<n<M «X - ЛХ)-
Из выражения (A.7) видно, что можно положить |8> = 0, а затем | (3> = О путем добавления к j b} соответствующего состояния вида ?2|%) (выбираем = и т. д.). Сделав
это, из Q'|6>=0 находим, что ам \ а) = ам\ у) = 0, так что фактически, добавляя снова к 16) соответствующее состояние вида й|х)> можно получить даже независимость | а) от ат. е. а“|а) = 01). При выполнении этих условий дальнейшее применение БРСТ-оператора дает
Qm-i|y} = 0, Qat-i I a) + ам* I y) = О, откуда, в частности, следует, что |v>=0 (в 1а> не содержится Это доказывает соотношение (А.4) и теорему об отсут-
*) Заметим, что оператор ajjj* является коммутационно-сопряженным оператору а^. Чтобы удовлетворить условию a^|a) = 0, подбирают соответствующим образом | у) в | х) = I Y) &мш
Доказательство теоремы об отсутствии духов
277
ствии духов (т. е. об отсутствии состояний с отрицательной нормой) для простого квадратичного оператора (А.2), поскольку поперечные состояния образуют положительно определенное подпространство.
Механизм, с помощью которого могут быть устранены духи (для квадратичного в фоковском пространстве БРСТ-заряда), называется квартетным механизмом Куго — Одзимы [32]. Его можно сравнить с описанным в работе [31] аналогичным механизмом для систем, определенных в (q, р) -представлении.
Квартетный механизм устраняет не только духи т]„ и <рп, но также и изотропные осцилляторы а+ и а~. Иногда удобно не полностью фиксировать БРСТ-калибровку, как это делалось выше, а сохранить возможность добавлять нулевые состояния, порождаемые оператором а+*. Это делается путем наложения на |by только условия духового вакуума:
т,п|&) = <Р„|й> = 0 (п>0). (А.8а)
Это условие согласуется с условием Q'|?>) = 0, если
а+ | Ь) = 0 (п > 0). (А.86)
Чисто поперечные состояния, очевидно, удовлетворяют системе (А.8), а также калибровочному условию
а~ | Ь) = 0 для п > 0. (А.9)
Наконец, чтобы провести сравнение с методом световой калибровки, операторы а+ и г, используемые в этом приложении, следует заменить на а~ и а+ соответственно.
Упражнение. Какие преобразования |6>->-|6)+ Q'|c) сохраняют условия (А.8)?
Приложение Б Матрицы Y в десяти измерениях
Мы кратко суммируем здесь представляющие особенный интерес в настоящем контексте свойства 7-матриц в десяти измерениях. Матрицы у удовлетворяют соотношению
УдУв + УвУд = 2т]дВ (Б.1)
и выбираются вещественными (майорайовское представление). Девять пространственных матриц yk симметричны, а матрица уо = С (матрица зарядового сопряжения) антисимметрична. Матрицы Суд симметричны.
Матрица 711 = 70 7э вещественна и симметрична, так что наложение вейлевского условия киральности
(1 ± Yu) 0 = 0 (Б.2)
совместимо с условием вещественности (майорановским условием). Эти условия определяют майорана-вейлевские спиноры.
Б.1. Свойства симметрии
Базис матриц 32X 32 задается (32)2 матрицами В\:
{!> Уд. Удв> Удвс. Удвсо. Уabcde, УдвсоУи» УдвсУп>
УдвУп. УдУи. Уп}. А<В<С..., (Б.З)
удовлетворяющими условию
tr блВл = 326л (-)ел. (Б .4)
Мы определили
V.,,...ТМ,... ,,, “ 1(V,, ¦ • • Улк ~ YV4 •••»»,+ •••). (Б-5)
ВЛ = и, УА, УАВ, ¦ ¦ ¦, УлвсоЪи ¦ ¦ ¦> Уп}- (Б.6)
В уравнении (Б.4) фаза (—)еА определяется следующим образом:
?л = 0 для I, Удвсо. Уabcde> УдвсоУи. УдвсУп. Уи.
еЛ = 1 для уАВ, у ABC, УдвУп. УдУи;
она такова, что ВАВХ = (—)&А1 (без суммирования по Л).
Матрицы у в десяти измерениях 279
Матрицы СВА имеют определенные свойства симметрии, которые легко выводятся из их определения. Эти свойства обусловливают следующие тождества:
= ГФ, 'ФУлХ = — XV Ч>УлвХ = — ХУлвФ, ^УлвсХ = ХУлвсФ,
'ФУлвсдХ= ХУлвссФ> ‘ФУлвсдвХ= ХУлвсовФ. (Б.8) ¦фУлвсоУпХ = — ХУдвсоУпФ1» 'ФУлвсУпХ = ХУлвсУп^. ФУлвУпХ = ХУлвУпФ>
¦фУлУпХ= —ХУлУпФ, Ч>УпХ= — ХУпФ.
где г|) и % — (антикоммутирующие) майорановские спиноры, а
¦ф обозначает грг7о-
Если ф и х являются также вейлевскими спинорами одной киральности, то единственными ненулевыми билинейными комбинациями, как легко видеть из соотношений (Б.8), являются
"ФУлХ, 'ФУлвсХ и ^\abcdeK• Если же яр и х имеют противоположные ориентации, то отличными от нуля могут быть лишь четные билинейные инварианты 'фулвХ и ФУлвсдХ-
