Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
[(#, Qb+] = -2ip+bab, (16.3.6.22а)
[Qi, Q_] = —2ip~dd6, (16.3.6.226)
[Q+, Q-] = -i^2 (у1)аЬ Pi. (16.3.6.22b)
К квантовой теории переходят путем замены переменных Х‘, pi, иг, р+ и ца операторами, удовлетворяющими коммутационным соотношениям
Х1р,- - PiXl = ibu и~р+ — р+и~ = — i, (16.3.6.23а) rfrf + г]1\а = 6ab, а= 1, 2, ..., 8 (16.3.6.236)
(== i дираковские скобки; остальные коммутаторы равны нулю).
Эти коммутационные соотношения реализуются в положительно определенном гильбертовом пространстве, получаемом
Суперструна
273
путем образования прямого произведения гильбертова пространства для соотношений (16.3.6.23а) на гильбертово пространство для соотношений (16.3.6.236).
Система (16.3.6.236) представляет собой клиффордову алгебру с восемью генераторами; таким образом, пространство ее неприводимого представления 16-мерно. Следовательно, для заданного импульса суперчастица может находиться в одном из 16 различных состояний. Можно показать, что эти состояния соответствуют определенной спиральности и распадаются на представления 8С + 80 группы SO(8) [67]. Имеется восемь спинорных и восемь векторных состояний, как требует десятимерная суперсимметрия [58, 67, 68]. Трансформационные свойства состояний при действии группы симметрии SO (8) следуют, разумеется, из вида SO (8)-генераторов М‘>, выраженных через основные канонические переменные.
В случае суперструны супергенераторы Пуанкаре тоже содержат вклад от возбужденных мод. Но последние аннигилируют основное состояние, которое соответственно описывается тем же квантовым пространством, что и суперчастица.
Упражнение. Запишите действие SO (8) -генераторов на 16 клиффордовых состояний. Разложите SO (8) -представление, которое они образуют, на его неприводимые компоненты.
Глава 17 Гетеротическая струна
Краткое введение в теорию гетеротической струны читатель может найти в следующих опубликованных материалах.
1. Бозонные струны в пространствах с компактифицированными размерностями (случай тора):
общий формализм и число обходов замкнутой струны — [69];
особые торы и симметрии Каца — Муди—[22, 23, 70, 71].
2. Гетеротическая струна— [72] и гл. 5.
Замечательным свойством гетеротической струны является включение в спектр струны янг-миллсовских симметрий (с калибровочной группой Es~X.Es или 50(32)).
Приложение А Доказательство теоремы об отсутствии духов для бозонной струны, основанное на БРСТ-методах
В своей статье Като и Огава [19] показали, что любое_ физическое БРСТ-состояние | Ь), удовлетворяющее условию Q|6) = О, где Q — ограничение БРСТ-заряда на данный нульмодо-вый сектор, может быть записано в виде
\Ь) = \Р)\0)яух + й\с), (А.1)
где |Р> — чисто поперечное ДДФ-состояние (получаемое из вакуума действием ДДФ-осцилляторов). Этот результат использован в разд. 13.2.6. Мы кратко наметим здесь идею их доказательства.
Основным моментом является то, что Q может рассматриваться как “возмущение” оператора
Q' = i Т (а+ X - л;а+), (А.2)
п>0
для которого отсутствие духов есть простое следствие “квартетного механизма” Куго и Одзимы. Далее Като и Огава показали, что теорема об отсутствии духов распространяется на весь оператор Q.
В выражении (А.2) а+ и — операторы рождения и уничтожения соответствующим образом нормированных изотропных мод. Они коммутируют:
К- а+*]=т1++ = 0. (А.З)
Коммутационно-сопряженные операторы суть а~* и а~. (Мы не фиксируем здесь калибровку, но работаем в заданной ло-ренцевой системе отсчета.)
Главные качественные черты теоремы об отсутствии духов уже содержатся в более простой модели, основанной на операторе (А.2), поэтому мы доказываем ее только для этого случая. Аналогами ДДФ-осцилляторов для выражения (А.2.) в
точности являются поперечные осцилляторы а1п, поскольку
они коммутируют с Q'. Соответственно поперечное состояние
276 Приложение А
в теории, основанной на выражении (А.2), есть состояние, содержащее лишь поперечные возбуждения.
Чтобы показать, что из Q' | Ь) = 0 следует
\Ь) = \Р')\0)мх + й'\с), (А. 4)
где | Р'У — поперечное состояние, содержащее лишь поперечные осцилляции а1*, достаточно рассмотреть последовательно моду за модой. Мы примем, что
4n\b) = &n\b) = 0, a+\b) = a-\b) = 0 (А. 5)
для п >- М\ это должно быть верно для некоторого М, поскольку Nj, Ng и N ограничены величиной —а'р2 -f- а0. Условия (А.5), очевидно, совместны с условием ?У|й) = 0.
Мы хотим устранить М-ю моду из |6>, т. е. преобразовать уравнения (А.5) в такие же уравнения, в которых М заменено на М— 1. Для этого запишем
