Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Этот вопрос не входит в сферу нашего обсуждения, главной целью которого было представить первый известный явный пример теории, являющейся бесконечно приводимой.
Упражнение. Рассмотрите теорию с одной коммутирующей степенью свободы (q,p), характеризуемой избыточными связями ф\ = р, ф2 = р.
а. Обсудите дираковское квантование.
б. Вычислите БРСТ-когомологию, ассоциированную с неверным БРСТ-оператором = рт]1 + рц2.
в. Запишите правильный БРСТ-оператор и вычислите его когомологию. Покажите, что в подходящем функциональном пространстве она совпадает с физическим пространством п. а. (В частности, если С—“дух для духа” с духовым числом 2, то нужно работать с формальной последовательностью положительной степени по С.)
268
Глава 16
16.3.6. Калибровка светового конуса
Поскольку модель Сиджела сталкивается с трудностями, мы возвращаемся к обсуждению первоначального действия суперчастицы.
Связями второго рода можно выбрать xY+. поскольку
[(XY+)«, (xv+)p] = 2 v2 ip+ (Y~Y+)afi- (16.3.6.1)
Мы считаем, что р+ф 0, как в обычном светокалибровочном анализе (хотя до сих пор калибровка не фиксирована, мы просто нековариантным образом выделяем связи второго рода).
В представлении у-матриц приложения В матрица (xY+)a имеет ненулевые компоненты только для 16 < а ^ 32. Кроме того, определитель 16X 16-матрицы (y~Y+)«.8> 16 <С а, |3 ^ 32, равен (—2)16, поэтому он не равен нулю (конечно, значения 16 и 32 эффективно делятся пополам вейлевским условием).
На этом этапе можно воспользоваться стандартной процедурой вычисления скобок Дирака, соответствующих связям второго рода (16.3.6.1), и затем попытаться переопределить новые переменные, которые придадут им канонический вид. Но более эффективно работать с действием. Дираковские скобки при этом получаются путем введения связей второго рода в действие. Они “диагонализуются” при переопределении новых переменных, таких, что кинетический член принимает стандартный вид jj pq + 7200 .
Мы воспользуемся вторым путем и примем немного отличные обозначения. Вместо изотропных +- и —направлений мы будем использовать два произвольных изотропных вектора, удовлетворяющих условиям [61]
п2 = г2 = 0, п • г = — 1. (16.3.6.2)
Действие суперчастицы эквивалентно действию первого порядка
5 [X, р, 0, V] = J dx [рА (XА - /0ул9) + y VpApA]. (16.3.6.3)
Это выражение получается путем применения преобразования Лежандра лишь к переменным (ХА, рл).
Мы производим следующую замену переменных в уравнении (16.3.6.3) [61, 64]:
XA — qA — l.(ft . р)-1 nBpcQyABCQ, (16.3.6.4а)
0 = т1 + #, (16.3.6.46)
где световые майорана-вейлевские спиноры т) и $ обладают лишь 8 независимыми компонентами, поскольку имеются
Суперструна
269
условия
nr\ = 0 = nt,. (16.3.6.4в)
Заметим, что ? и 0 имеют противоположные киральности.
В приложении В содержатся полезные соотношения, удобные для расщепления (16.3.6.46) и (16.3.6.4в). Используя их, .получаем
5 [q, р, г], ?, V] = ^ dx \j>AqA + i (ti ¦ p) Tjrr] —
-i(n- p) pXrt, + \VpApA\ ¦ (16.3.6.5)
Это выражение можно упростить путем элементарного изменения масштаба т] и ?, чтобы поглотить множитель \п-р)~х. В новых переменных г) и ? (которые мы обозначаем теми же буквами) действие принимает вид (fjrг| = = 0)
•S[?> Р, Л, ?, V] = \dx^pAqA + 1цгц — iplrZ + у Vp2l. (16.3.6.6)
Дальнейшая замена переменных
V^V — 2 ilrt (16.3.6.7)
приводит к выражению
5 [q, р, л, ?> V] = ^ йх\рлЯл + +yVP2}‘ (16.3.6.8)
Это действие явно не зависит от ?, что является следствием фермионной калибровочной инвариантности теории (? произвольно и не определяется уравнениями движения).
Чтобы полностью привести действие к каноническому виду, необходимо ввести импульс pj, сопряженный ?, который удовлетворяет первичным связям первого рода:
pt = dL/di = 0, (16.3.6.9)
и добавить выражение (16.3.6.9) к S с лагранжевым множите-
лем v:
5= \ йх\рАЧА + + Pit + -jVp2 + ptv\. (16.3.6.10)
Связи (16.3.6.9), разумеется, являются генераторами фермионных калибровочных преобразований и в точности эквивалентны ф = 0{р?= рер). Одно из достоинств проведенных выше замен переменных состоит в том, что qA и ti калибровочно-инвариантны при локальных фермионных преобразованиях в гамильтоновой форме, иначе говоря, они коммутируют с pj.
Действие (16.3.6.10) есть то, что мы получили бы, если последовали стандартной дираковской процедуре устранения
270
Глава 16
связей второго рода с помощью скобок Дирака (в отсутствие фиксации калибровки остаются только связи первого рода pi =0). Дираковские скобки для р, q, rj, ? и pj можно получить из вида кинетического члена в выражении (16.3.6.10). В явном виде находим
