Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
(С, #(1)) — коммутирующими майорана-вейлевскими спинорами соответствующей киральности. Они обладают следующими духовыми числами:
gh (л) = gh (С) = - gh (я) = - gh (<?(I)) = 1. (16.3.5.9)
На этом первом этапе БРСТ-генератор имеет вид [66, 31]
(1) 1 (1)
Q = ± р\ + рврС (16.3.5.10)
и, очевидно, является нильпотентным.
Затем вводят вторичные духи, компенсирующие избыточный счет связей. Как объясняется в работах [66, 31], на каждое независимое соотношение между связями должна вводиться одна пара канонически сопряженных духов.
Каково число независимых соотношений (16.3.5.7), которым удовлетворяют связи? Конечно, не 16, как может показаться из того факта, что условие (16.3.5.7) есть майорана-вейлевский
спинор, а лишь 8. Действительно, коэффициенты X перед связями в соотношении (16.3.5.7) удовлетворяют условиям
(р?0 ~ 0, (pfP « о,
(1)а (•)
где Хр и Xp определяются соотношениями - (1)„ (1> <»„ (1> фах\ + = 0 = (Р)\, = -2 (j6e)p.
Следовательно, они не могут быть независимыми.
Можно ли ковариантно выделить из соотношений (16.3.5.7) 8 независимых? Здесь мы наталкиваемся на трудности того же типа, что и выше (соотношение (16.3.5.7) определяет неприводимое представление группы SO (9, 1)). Соответственно лучше не разделять соотношения (16.3.5.7) на зависимые и независимые, а ввести столько канонически сопряженных пар вторичных духов, сколько имеется соотношений (16.3.5.7), и компенсировать последние духи путем введения “духов для духов”.
(2)
Вторичные духи, обозначаемые С и & , являются антикоммутирующими спинорами и удовлетворяют соотношениям
(16.3.5.11)
(16.3.5.12)
[С", &f] =ЬЪ= [&(?\ <?“], gh (С) = - gh 0<2)) = 2. (16.3.5.13)
266
Глава 16
На этом втором этапе БРСТ-генератор имеет вид [66, 31]
(1) (2)
Q = Q + Q, (16.3.5.14а)
(2) (2) _ (2)
Q = 0^'рС — 2лрвС, (16.3.5.146)
и все еще, очевидно, является нильпотентным.
Следующий шаг состоит во введении третичных духов, которые учитывают то обстоятельство, что уравнения (16.3.5.11)
для и JTp не все являются независимыми, как мы уже под-
черкивали. Вместо этого имеем
р~°, (16.3.5.15)
(2)а П)а (,)
где X р определяются как коэффициенты перед X р и Хр в уравнении (16.3.5.11):
(1) (2) (1) (2) (2)
Хр*рр~0, Х^р ~ 0^>х\= р\. (16.3.5.16)
Уравнения (16.3.5.15) можно переписать в виде
(2) (3) (3)
Х%Х\ ~ О, = р\. (16.3.5.17)
Используемый прием [66, 31] состоит в введении такого количества пар духов, сколько имеется независимых уравнений
(2)
для Каково же это число? Оно снова равно 8, так как ко-
(3)
эффициенты Х$р не являются независимыми:
(3) (4>о (<)й л
Ха$Х^~0, где Я*р =Д. (16.3.5.18)
(3)о
Кроме того, нельзя ковариантно разделить Xр на зависимые и независимые компоненты. Следовательно, мы вводим больше третичных духов, чем это в действительности нужно, и учитываем соотношения (16.3.5.18) путем введения “духов для духов для духов для духов”.
На третичной стадии БРСТ-генератор имеет вид [66, 31]
Суперструна
267
он снова, очевидно, нильпотентен. Здесь С и ^(3) — коммутирующие майорана-вейлевские спиноры, удовлетворяющие условиям
(3) (3\
[С“, Pf] = - [#%8), Ce] = вр, (16.3.5.20а>
gh (С(3)) = — gh (#<3)) = 3. (16.3.5.206)
Эта процедура далее повторяется бесконечно по тому же образцу, если мы не желаем на некотором этапе нарушить явную ковариантность. При этом требуется бесконечная последовательность духов для духов. Соответствующий БРСТ-генера-тор имеет вид
1 _ (2) _ _ (п+1)
й = -1р2т] + рерС<1> + (^1>р-2яре)С + ]Г (Р(п)Р ~ 2^"-») С .
л>2
(16.3.5.21)
Но автору не очевидно, что эта бесконечная последовательность может представлять смысл. Число истинных фермионных степеней свободы, которое должно быть равно 8 (16 минус 8 независимых связей первого рода), задается бесконечной суммой 16—16+16—16+ ... (коммутирующие и антикоммутирующие духи дают вклады с противоположными знаками), не имеющей очевидного смысла. Было бы интересно исследовать в деталях когомологию БРСТ-оператора (16.3.5.21) и посмотреть, можно ли определить функциональное пространство, на котором генератор й действует таким образом, что БРСТ-когомология воспроизводит желаемые результаты.
