Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
Действие инвариантно при глобальных суперпреобразованиях Пуанкаре
60 = -1 (олвуАВв + е, (16.3.2.1 а)
б ХА = аАвХв + гёул0 + аА. (16.3.2.1 б)
260 Глава 16
Непосредственное применение теоремы Нётер дает суперзаряды Пуанкаре
РА = — V~!(oA, (16.3.2.2а)
МАВ = Р[АХВ] - -^-Рс0уЛВС0, (16.3.2.26)
Q = 2iPAyAQ. (16.3.2.2b)
16.3.3. Гамильтонов формализм
Поскольку теория обладает калибровочными инвариантностями, следует ожидать появления связей в гамильтоновом формализме.
Импульсы, сопряженные V, ХА и 0, имеют вид
pv = 0, (16.3.3.1)
Ра = -^а=- V~1(0a = Рл, (16.3.3.2)
p6=^ = -j0p. (16.3.3.3)
Выражения (16.3.3.1) и (16.3.3.3) определяют первичные связи:
рк = 0, (16.3.3.4а)
%^рв + Щ = 0. (16.3.3.46)
Гамильтониан определяется выражением
H = VPv + ХЛрА + ре0 — L-\- Кру + (ре + г'9р) М- =
= —^ VРлРА hpv + (Рв + г§р) Iх, (16.3.3.5)
где X и ц — лагранжевы множители (X — скаляр, а ц — майора-на-вейлевский спинор).
Сохранение во времени первичной связи pv = 0 приводит к вторичной связи
Ж = ^ рлРА — 0 (16.3.3.6)
(условие массовой поверхности).
Сохранение во времени связи (16.3.3.46) налагает условие на множитель ц:
Срц — 0 -> рц = 0 -> (.1 = pv. (16.3.3.7)
Гамильтониан сохраняет во времени вторичную связь (16.3.3.6), поэтому “алгоритм согласованности” заканчивается.
Суперструна
261
Так как пара (pv, V) есть чистая калибровка, импульс pv можно опустить и рассматривать V как лагранжев множитель для связи (16.3.3.6). Поэтому суперчастида описывается каноническими парами (ХА,рА) и (0, ре), удовлетворяющими соотношениям
1Х\рв] = 6Ав, (16.3.3.8а)
[9а, РЧ\ = [РЧ, 6а] = б^ (16.3.3.86)
(где теперь а — спинорный индекс), связями (16.3.3.6) и (16.3.3.46) и гамильтонианом
Н = — yvPaPa + PePv- (16.3.3.9)
В последнем выражении множитель У переопределен, чтобы получить более простой вид для Я.
Гамильтониан слабо обращается в нуль, что соответствует общековариантным системам.
16.3.4. Смысл связей
Среди связей некоторые соответствуют калибровочным инвариантностям теории, другие же возникают как следствие отсутствия независимого кинетического члена, квадратичного по фер-мионам.
Связи, соответствующие калибровочным инвариантностям, называются связями первого рода и характеризуются свойством слабо коммутировать с. остальными связями. Чтобы отождествить их, вычислим алгебру связей
W, %а] = о, (16.3.4.1а)
[-/а, хр] = 2г (Yop)ap- (16.3.4.16)
Связь Ж, очевидно, принадлежит первому роду. Она является генератором локальных репараметризаций, сопровождаемых соответствующим преобразованием (16.3.1.8), таким, что 80 = 0.
Но поскольку матрица в правой части соотношения (16.3.4.16) не обращается в нуль, связи % не все принадлежат первому роду. Как следствие условия массовой поверхности ранг матрицы (уор)«р равен 8 (в подпространстве вейлевских спиноров), так что из 16 майорана-вейлевских связей %а = 0 8 принадлежат первому роду и 8 второму.
Связи первого рода могут быть отделены ковариантным, но избыточным способом путем действия р на %:
XР = РвР + г'бр2 рвр.
(16.3.4.2)
262
Глава 16
Имеем _
[Фа,Ж] = 0, (16.3.4.3а)
[Фа, Хр] = 2i (Уо)ар28 « 0, (16.3.4.36)
а также _
[Фа, fp] = 0. (16.3.4.4)
Замена %р на ф основана на последнем соотношении, которое делает алгебру связей первого рода абелевой.
Легко проверить, что фа (слабо) генерирует фермионную калибровочную симметрию (16.3.1.4) (плюс соответствующая репараметризация) :
[0, фv] = pv, (16.3.4.5а)
[ХА, фу] = Pq\av ==» — iQpyAv — iQ\Apv — 2iQvpA. (16.3.4.56)
Последний член в правой части соотношения (16.3.4.56) есть генерируемая Ж частная репараметризация, соответствующая приведенному выше переопределению %р-^-ф.
На данном этапе нашего рассмотрения следует выделить два момента: согласование между калибровочными преобразованиями в лагранжевой и гамильтоновой формах выполняется только на связях, как это в общем случае имеет место для невнутренних калибровочных симметрий; кроме того, не существует независимых гамильтоновых связей первого рода, ассоциированных с “фальшивой” калибровочной инвариантностью (16.3.1.8). Фактически одно из преимуществ гамильтонова формализма состоит в том, что лишь “истинные” калибровочные инвариантности приводят к связям первого рода, а это позволяет выделить и пересчитать их непосредственно.