Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
(16.1.4.1) =
х~ =—^.(Xi2 + x'i2) + i&y-Q1 + itfy-tf, (16.1.8.15а) х'~ = ^~Txix'i + ;ёУ е1' + гё2у~е2'- (16.1.8.156)
Величина Х~ квадратична по другим переменным, поэтому супергенераторы Пуанкаре приобретают кубические вклады.
16.2. Квантовая теория
По причинам, изложенным выше, до сих пор развито только квантование суперструны в калибровке светового конуса. На этом этапе читатель уже должен быть способен провести квантовый светокалибровочный анализ суперструны, который аналогичен анализу в бозонном случае [36]. Поэтому мы лишь воспроизведем результаты.
Оказывается, что квантовая супералгебра Пуанкаре не имеет аномалии только в десяти измерениях [36, 44, 55]. Спектр открытой d = 10-суперструны соответствует суперсимметричному усечению открытой фермионной струны Невё — Шварца — Рамона, которая обладает N = 1 -суперсимметрией. Частицы основного состояния образуют суперянг-миллсовский калибровочный мультиплет.
Спектр замкнутой суперструны может быть снова усечен путем удержания только таких состояний, которые симметричны при замене сг—* а (неориентированная суперструна = замкнутая суперструна типа I). Это симметричное усечение не инвариантно при обеих суперсимметриях, а обладает лишь yv= 1-суперсимметрией. Основным состоянием является калибровочный мультиплет d — 10, N = 1-супергравитации. Спектр совпадает с суперсимметричным усечением замкнутой фермионной струны Невё — Шварца — Рамона. Можно показать, что взаимодействия открытых суперструн могут породить замкнутую суперструну типа I, так что они вместе образуют единую “теорию типа I”.
Полный спектр замкнутой суперструны не инвариантен при замене сг—>—а, поэтому он соответствует ориентированной струне (“типа Н“). Он обладает N = 2-суперсимметрией. В зависимости от относительных киральностей 01 и 02 теория называется теорией типа На или типа Нб. Основные состояния этих теорий являются калибровочными мультиплетами двух различных моделей rf = 10, N = 2-супер гравитации (тип Па
258
Глава 16
соответствует размерной редукции d~ 11, N — 1 -супергравитации; тип 116 — d = 10, N = 2-киральной супергравитации). Подробнее об этом см. работу [36].
16.3. Суперчастица
16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
Действие, описывающее безмассовую суперчастицу, определяется выражением [64]
Оно является очевидным расширением действия безмассовой бесспиновой релятивистской частицы. Здесь V — “айнбайн”, X4 (Л =0,1, ..., 9)—координаты частицы и 0 — внутренняя степень свободы, для простоты удовлетворяющая майорана-вейлев-скому условию.
При усечении суперструны в нульмодовый сектор путем отбрасывания высших мод получаем действие (16.3.1.1). Поэтому это действие представляет основное состояние суперструны, и очевидна важность понимания его динамики.
Интересной чертой суперчастицы является иллюстрация на примере этой простой модели основных затруднений, возникающих при ковариантном квантовании суперструны.
Действие (16.3.1.1) инвариантно при репараметризациях
а также при калибровочных фермионных преобразованиях, аналогичных (16.1.3.5) [61]:
S[V, ХЛ, 0] = -у \ V~'o>A®Adr, (16.3.1.1)
где
оИ = ХА — г’0ул0.
(16.3.1.2)
6ХА = &ХА, 60 = е0, bV = &V + zV = (eF)',
(16.3.1.3a)
(16.3.1.36)
6K0 = i ши, би^ = /:0у^би0,
(16.3.1.4a)
(16.3.1.46)
(16.3.1.4b)
где мы положили 6 = a>AyA-
Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид
ггИт . = О
ГЛАГЛ - =
(16.3.1.5а) (16.3.1.56)
Суперструна
259
©0 = 0. (16.3.1.5в)
Из уравнения (16.3.1.5а) видно, что аИ — изотропный вектор. Следовательно, матрица со нильпотентна и не может быть обращена, что полностью аналогично соответствующему факту для суперструны.
Уравнение (16.3.1.5в) означает, что
0 = 6s, (16.3.1.6)
поскольку ядро оператора й> совпадает с его образом, если
вектор со4 изотропен; это свойство мы уже использовали. Инте-
грирование уравнения (16.3.1.6) дает
0(т) = 0о + ^(т), (16.3.1.7)
где ф + &/У)ф = s. Спинор ф (т) не определяется уравнениями
движения, что согласуется с калибровочной инвариантностью
(16.3.1.4).
Из уравнений (16.3.1.6) и (16.3.1.5а) следует, что фермионные калибровочные преобразования (16.3.1.4) являются избыточными на связях. Если % = 6е, то 6К0 и 8УХА, очевидно, обращаются в нуль, а бхУ принимает вид
6*7 = —AV sax — 0.
Как указали Грин и Шварц [56], действие обладает также бозонной инвариантностью:
6„0 = Я0, (16.3.1.8а)
6хХл = ЮуА6ф, (16.3.1.86)
6Я7 = 0, (16.3.1.8в)
возникающей при попытке замкнуть алгебру преобразований (16.3.1.3) и (16.3.1.4). Но преобразования (16.3.1.8) отличаются от (16.3.1.4) лишь членами, обращающимися в нуль при использовании уравнений поля. Это можно показать тем же способом, что и в случае суперструны. Поэтому система (16.3.1.8) не дает ничего нового.
