Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
60' = 2т^уАхх.
Следовательно, вариация калибровочных условий (16.1.8.2) дает О = 6(у+01) = 2гу+е>+Ул,<1 =2г'у+юлуле- (16.1.8.6)
Используя антикоммутационное соотношение для ^'матРиЦ и условие Y+e = 0, получаем отсюда е = 0, как и требовалось.
Аналогично доказывается, что условие у+02 — 0 фиксирует неизбыточную часть х2-калибровочной свободы.
‘) Для сохранения лоренцевой инвариантности можно было бы вместо этого принять условие еИудб1 = и+у^б2 = О, где — изотропные направления вдоль мировой поверхности струны. Но это приводит к сложным уравнениям. Кроме того, эта схема не прошла бы для основного состояния (су-перчастипы).
2) Некоторые приемы работы в калибровке светового конуса изложены в приложении В.
3) Случай ю++=0 есть обычная инфракрасная сингулярность световой калибровки.
Суперструна 255
При выполнении условия (16.1.8.2) уравнения движения для полей существенно упрощаются. Билинейные члены 02у+<ЗцЭ2, вУдцб1 и 02у'д$2 обращаются в нуль:
0JY+^0i = 02Y+^02 = O, (16.1.8.7а)
0Удц0‘ = — -j 01 (Y+Y~ + YY+) У‘<3ц01 =
= - у 0iY_Y+y401 = y01Y“YiY+^61 = 0, (16.1.8.76)
0Va(i02 = O, (16.1.8.7b)
так что уравнения для Х+ и Х‘ становятся обычными уравнениями Даламбера в двух измерениях:
? Х+ = ПГ = 0. (16.1.8.8)
Одновременно спннорные уравнения 7лшлд_01 = 0 и \лсИ<?+02 = О можно заменить уравнениями
d_0J = 0, (16.1.8.9а)
<3+02 = 0, (16.1.8.96)
как легко видеть после умножения на -у+.
Условие гармоничности Х+ (16.1.8.8) можно использовать, чтобы провести конформное преобразование координат, в котором новое время определяется величиной Х+:
Х+ =2р+а'х (открытая струна), (16.1.8.10)
где р+-—полный пространственно-временной импульс в -{—направления.
Это полностью аналогично бозонному случаю, и мы находим также, что плотность импульса в -^--направлении постоянна:
/+0(ст) = -Д—- = (открытая струна). (16.1.8.11)
дХ+ л
Условия (16.1.8.10), (16.1.8.11) и (16.1.8.2) определяют калибровку светового конуса для открытой суперструны. При их выполнении остаточная калибровочная инвариантность отсутствует. Световая калибровка для замкнутой суперструны определяется аналогичными уравнениями с заменой я на 2л в соответствии с нашими соглашениями. В последнем случае условия
(16.1.8.10) и (16.1.8.11) также не полностью фиксируют систему координат. Остаточная калибровочная инвариантность заключается в независимых от ст трансляциях вдоль ст-направления.
256
Глава 16
Соответствующая связь соотносит количество право- и левобегущих мод.
Для описания динамики в световой калибровке удобно ввести действие световой калибровки, которое получается просто подстановкой калибровочных условий в ковариантное действие. Получаем
5L C- =[jdxda ? —(Ami'у1 ? ц^дкХ1д^Х1 + i ^-0у-рЧ.^ ,
(16.1.8.12)
где
e = (^)> 0 = (§!)p°> (16.1.8.13)
a px —двумерные матрицы Дирака:
/ 0 1 \ /0 1 \
Р° = С-1 0> pl=ll о} (16Л-8Л4>
При выводе выражения (16.1.8.12) мы использовали условие р+ — 0 (которое является следствием уравнений движения для Х~) и опустили соответствующие полные производные по времени ').
Легко проверить, то уравнения Эйлера — Лагранжа, следующие из выражения (16.1.8.12), являются правильными светокалибровочными уравнениями (16.1.8.8) и (16.1.8.9) для физических поперечных мод Х‘, 01 и в2. В частности, мы видим, что уравнения (16.1.8.9) включают двумерные уравнения Дирака.
Действие световой калибровки полностью описывает открытую суперструну в калибровке светового конуса. В случае замкнутой струны к действию необходимо добавить связь на
равенство номеров уровней в правобегущем и левобегущем секторах.
Наконец, для завершения светокалибровочного анализа суперструны необходимо построить супергенераторы Пуанкаре. Это делается так же, как в предыдущих моделях, путем выражения зависимых переменных через независимые. Непосредственную запись суперзарядов Пуанкаре в калибровке светового конуса мы оставляем читателю [55]. Для этого тре-
') Мы не совсем строго рассматриваем нулевые моды р+ и Х0 , так как используем их уравнения движения внутри действия. Более строгий анализ, в котором эти моды последовательно рассматриваются как динамические переменные, читатель найдет в разделах, посвященных бозонной струне и суперчастице.
Супер струн а
257
буются лишь выражения для Х~ и Х'~, которые следуют из связи
