Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
\ Правосторонний режим \ исчезает
Центральный режим, \ У
захватываемый лево- \
сторонним _________ \>V
режимом ^
Центральный -----------
режим, захватываемый / правосторонним у / режимом /
/Левосторонний режим / исчезает
Ряс. 22.
сечение Dj с плоскостью (о, о>) образует кривую. Нарисовав эти кривые при значениях параметров (и, /), пробегающих единичный круг, мы получим рис. 20.
Кривая с точкой возврата в плоскости («, t) — это линия ласточкиных хвостов, т. е. геометрическое место точек, в которых происходит катастрофа «ласточкин хвостх. Поверхность Df, соответствующая линии L, показана на рис. 2t.
17. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
195
Распределение локальных режимов для картинки А показано на рис.' 22. Этот рисунок полностью описывает ситуацию; например, распределение режимов для картинки В показано иа рис. 23.
2
Ряс. 23.
Параболическая омбилическая точка Деформация: f(x, у, и, о, w, 0“
' “ х?у + (/* + wx1 + ty* — их — vy.
«Часы» показаны на рис. 24. По-видимому, этот ри* суыок впервые сделал Шансине (Chenciner А.). Подробное изложение с большим количеством дополнительной информации и рисунков можно найти в статье Годвина.
Вот объяснение различных кривых в.(а>, 0-плоскости: линия изолированных точек: появляется изолированная точка; пересекаются различные части Df', центры гиперболических омбилических точек; центры эллиптических омбилических -точек;
раздвоение точек сборки двух ласточкиных. хвостов; 'линия ласточкиных хвостов: центры появления-
двух ласточкиных хвостов;
линия пересечения: гиперболическая линия:
эллиптическая линия:
линия «клюв к клюву»;
Линия пересечения
Линия эллиптических /Почек
Линия шиперйо лических точек
Линия пересечения-—^
Линия „ клюв к клюву"
Линия ласточкина хвостов
Линия изолированных точек
Рис. 24.
1>. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
197
Два локальных [ режима
12
\Один яокаль-|яы(} режим
Рис. 25.
14
? Локальных режимов нет
Число локальных режимов указано на рис. 25.
деформации более высоких размерностей
Мы привели изображения деформаций минимальной размерности. Но, например, f (x, и, v, o))«-»x4 —
— их* —шс есть версальная деформация, и множества 2, А и D являются прямыми произведениями на ось w соответствующих множеств для обычной деформации точки сборки. Действительно, всякое дописывание новых переменных превращает универсальную деформацию в нереальную. Приведенная выше деформация сборки эквивалентна следующей:
f (х, а, о, ®) — х4 — (и — ю») х8 — ох,
дли которой Dt имеет вид, показанный на рис. 26. Если и—время, то плоскости с постоянным значением вре-
198
17. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
мени пересекают Df так, как это показано на трех картинках. Вероятно, существует правило, для которого Df является множеством катастроф.
Временная устойчивость
Обсуждавшаяся выше элементарная теория катастроф опирается на классификацию устойчивых ростков с точностью до некоторой эквивалентности. Эквивалентность определяется с помощью правых и левых замен координат (в образе и в прообразе). Детали читатель может найти в диссертации Вассермана.
Характерной особенностью этого отношения эквивалентности является то, что разрешается брать росток произвольного диффеоморфизма множества С/P Вас*
17. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
199
Ь
4J
Рис. 27.
серман (вторая цитированная в начале главы работа) рассмотрел задачи, которые возникают, когда на диффеоморфизмы U накладываются ограничения. Предположим, что U расслоено на подпространства с одинаковым значением времени, т. е. на U введены координаты, в которых одна из осей представляет время. Будем разрешать только такие диффеоморфизмы U, которые переводят каждый слой с постоянным значением времени в другой такой слой. Отображения, эквивалентные с точки зрения этого нового, более ограничительного определения, называются /-эквивалент* ными, а соответствующее понятие. устойчивости называется ^устойчивостью. Теперь можно поставить задачу классификации /-устойчивых функций. Список таких функций более обширен, чем список элементарных катастроф, но всё-таки конечен в малых размер-ноеткх. Вот одна из ^-устойчивых деформаций сборки:
f{x, и, V,t)*e=X*-{-UX?-\-iX + UX-\- V2X.
Разумеется, роль времени играет координата /. Если •зять в качестве / =* / («, о, да) функцию, нулевая линия которой касается кривой сборка на рис. 26 и транс* версальна оси и, то деформация, к которой относится рис. 26, не будет /-устойчивой.
