Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Д/ ¦* {(*« и» о)s 2^1 12я* — 2а =*0}, А «*{(«» 0)1270*» 8а8},
В этом случае мы нарисуем Щ (рис. 3, по Зиману). Каждой точке {и, о)-плоскости соответствует график, изображающий зависимость f только.от х. Различные возможности представлены на рис. 4 (замена v на — о отражает каждую маленькую картинку относительно вертикальной оси). На рис. 4 положительный луч оси и— это так называемое множество Максвелла, на котором происходит переключение в ту точку минимума, в которой значение функции меньше. Исчезновение точек минимума происходит в момент пересечения линий сборки. График процесса, построенного по правилу Максвелла, изображен на рис. 5.
Один из процессов, построенных по правилу минимального отставания, показан на рис. 6. Множество катастроф совпадает с линией сборки, пока временная кривая не коснется кривой сборки.
ш
V , /
ОЧ71
*L «J
График сечения s
17. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
188
На рис. 7 показаны две модели, которые возможны, если понимать «процесс» как сопоставление каждому
гладкому пути сечения над этим путем, удовлетворяющего правилу минимального отставания.
Ласточкин хвост
Деформация: / {х, и, v, w) «= + шс3 + vx1 + wx,
2/ = {(*. и, v, w)| Ъх* + Зшс* + 2vx + 0*0},
Д/ = {(jc. и, v, ш)«=2,| 20л1 + бшс + 2о =» 0},
Df = {(и, v, ш)| Зх: б*4 + 3ц*2 + 2vx + ю*0 и
20л' + биде + 2 о = 0}.
В этом случае Dj имеет вид, показанный на рис. 8. Распределение режимов для положительных и отрицательных значений и показано на рис. 9 и 10. Для отрицательных и ситуацию проясняет рис. 11 в (х, of w)~ пространстве.
сию
w
/
/ X
Нет локальных режимов
Один локальный режим'
/V /
г 4
J
Z
Рис. 8.
Правосторонний рекам исчезает, захваченный средним режимом
Средний режим исчезает, захваченный праеосторон-киЛ режимом
Средний Правосторонний фтим режим
Рис. 10.
Рве. И.
188 17. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
Если время течет параллельно оси до, то правило минимального отставания дает множество катастроф, показанное на рис. 12. Мы предполагаем, что система
начинает свое существование с локального режима, а не с — оо.
Гиперболическая омбилическая точка
Деформация: / (х, y,u,v,w) = x?+y3-\-wxy — их—ay, = {(*, у, и, v, до) | Зх2 + wy — и — Зу1 + wx — v =* 0},
Д, = u, o,»)e2,|det[^ ^J = o|,
&l — {(“. v, до) 13 (х, у): и = Зх2 -f wy, v — 3tf + wx и
ш2 =* 36ху).
При фиксированном w множество определяет отображение R2 -> R2: (х, у) > (u, v) — {Зх2 -f wy, 3у2 + wx), н пересечение множества Df с плоскостью (до — const} совпадает с множеством критических значений этого отображения.
17. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
189
При = О это отображение похоже на сложенный носоаой платок (рис. 13), а при до^О оно становится, мевее вырожденным (рис. 14).
Г
Df n(w-O)
Ряс. 13.
В (и, о, ^-пространстве множество Df симметрично относительно (и, о)-плоскостк. Половина Dt изображена на рис. 15.
При to «О мы даем на рис. 16 график f для положительных ы = о и для отрицательных и —о. При w ч1* 0 картина меняется не очень сильно. Более
Рис. 16.
17. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
191
тщательное изучение показывает, что всегда есть по меньшей мере один конечный локальный режим, который находится на той стороне поверхности рис. 15, которая содержит квадрант w =« 0, и, и > 0.
Эллиптическая омбилическая точка
Деформация: f (х, y,u,v,w) = j —ху^+ьо^+у*)—
— ux — vy. Эта замена координат упрощает уравнение Dfi
Z)f —{(ы, t»,t»)|3(х,у): +
а = — 2xi/-f 2wy, х3 -{- у* *=* w7}.
Если мы рассмотрим в С координаты z==x-\-ly и u-j-io, то увидим, что при фиксированном ш множество
П {» *= const} есть образ окружности | г i = | w) при отображении {х,у) —>(u,v)’=z{x?+yJ-{-2wx, 2wy — 2xy), которое можно записать Э риде г « z3 -J- 2wz,
V
Рис. 18.
Рис. 19.
Рчс. 21.
104
17. РИСУНКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
При w = 1 мы получаем кривую 2е{6 + е~2И (рис. 17) Следовательно, Df выглядит так, как. показано на рис. 18.
Мы видим, что есть только один локальный режим, и он лежит внутри Df при w > 0 При и ***'v *=> w «¦ 0 график / (*, у) — это так называемое «обезьянье седло». Вдоль должным образом выбранной линии, близкой к оси w и лежащей внутри Dj, это седло деформируется так, как показано на рис. 19, где изображены
линии уровня (пунктирные линий соответствуют положительным значениям, сплошные — отрицательным или нулю).
Бабочка
Деформация: f (х, и, о, го, /) = дс®+см:?+wx. Рисунок, на котором мы изобразим множество D/, будет похож на часы. При фиксированных (и, i) пере-
