Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
деформ-ация fc-трансверсальна, поскольку трансвер-сальна деформация (г, f). По основной лемме, существует морфизм этой деформации в Л-трянсверсальную деформацию const + (г, f), для которой, очевидно, существует морфизм в (г, f). В
16.7. Следствие (ср. с леммой 14.15). Если (г, f)~ версальная деформация ростка ч, то codimrj^r.
Доказательство. Деформация (г, f) й-трансверсальна и, значит, in (п) = (dr|) -f Vf -f m (n)k+{. Следовательно, dim (nt (n)j({dr\) -f m (n)ft+1)) < dim Vf < г. Это неравенство верно прн любом k, поэтому, согласно лемме Накаямы,
m (п)к с: (дх\) m (п)к+1 при k > г.
Еще одно применение леммы Накаямы дает тп(л)* и, значит, dim m (п)/(дг\) < г. |
Доказательство основной тедремы 14.8. Теперь мы можем дать полное доказательство основной теоремы о деформациях (по-прежнему предполагая справедливость основной леммы).
Если росток т] ^-определен, то обе его г-парамет-рические версальные деформации являются Л-транс-версальными. Следовательно, эти две деформации изоморфны. Если (г, f) — версальная деформация наименьшей размерности, то как (г, f), так и (г, f) + + const являются Л-трансверсальными. Отсюда- ры-
170 16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРсМЫ О ДЕФОРМАЦИЯХ
водим, что все fe-трансверсальные деформации могут быть получены из деформации (г, /). Следствие 16.7 показывает, что минимальное возможное число параметров версальной деформации равно codim г|. Если коразмерность ростка ц конечна (скажем, равна г), то ростокц конечно определен (см. 11.4). Следствие 16.5 дает г-параметрическую fe-трансверсальную, а, следовательно, универсальную деформацию ростка ц, имеющую требуемый вид. В
Теперь мы переходим к самой трудной части наших рассуждений.
Доказательство основной леммы 16.3. Пусть tj есть ^-определенная особенность, а (г, f), (г, g) — две ее 6-трансверсальные деформации. Нужно построить изоморфизм (г, /) ?? (г, g). Мы знаем, что деформация (г, /) А-трансверсальна, если выполнено уеловие
{dr\jdx,) -j- У f + тп (я)*+1 = тп (л), где пространство Vf порождено над R элементами
(Д-|ГХ{0}-А(0)).
Задача. Найти гомотопию Ft, состоящую из транс-версальных деформаций и удовлетворяющую условиям F0 — f и Fi = g. (Затем мы покажем, что с точностью до изоморфизма деформаций гомотопия Ft локально постоянна.)
Решение задачи, r-параметрическая деформация ростка ц сама является ростком, лежащим в >) + -Ь ш (г) • В (п + г) с m (п + г), где через m (г) обозначен
идеал, порожденный элементами щ........иг, поэтому
ее можно записать в виде л + б, где 6бш(г)'
• В (п + г). Ясно, что — V6. В пространстве
I* (п), состоящем из ft-струй с нулевым свободным членом, имеется подпространство (дц/дх^/т (л)*+1,
IS. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ О ДЕФОРМАЦИЯХ Iff
и мы интересуемся такими б, для которых трансверсально этому подпространству.
Определим отображение
nt (г) 8 (п + г) -*• Нош (Rr, Jo (n))
формулой
где fijg- элементы базиса в R'. Очевидно, что это отображение сюръективно, поскольку в качестве 6 можно взять подходящие многочлены.
Рассмотрим исключительное подмножество А а с: Нот, состоящее из таких гомоморфизмов, для которых образ Rr не трансверсален (dr\jdxt) хл(п)л+>. Ясно, что А — алгебраическое множество.
Если codimti = s==codim(dn/5je<) в /J, то, как мы §наем, s^r согласно следствию 16.7, которое факти-
172 18. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ О ДЕФОРМАЦИЯХ
чески было доказано для А-трансверсальных деформаций.
Случай 1. . Пусть г > s. Легко убедиться, что в этом случае codim А > 1 и, следовательно, множество Нот — А связно (используйте 9.3).
Случай 2. Если r — s, то множество Нот — А разбивается на две компоненты, отличающиеся ориентацией образа пространства Rr по отношению к (dtj/djc<)m(n)*+1. Однако если ф ел ^ (г) —обращающее ориентацию преобразование, то т) + б и (т) + б)<р дают точки, которые лежат в разных компонент, х множества Нот — А. Значит, можно предположить, что fug отображаются в одну и ту же компоненту множества Нот — А.
Отсюда следует, что образы / и g можно соединить в Нот —Л кусочно-линейным путем. Очевидно, что линейный путь в Нот — А можно поднять до линейного пути в ш(г)Ш(п-\- г)/т{п + г)*+| (поскольку последнее пространство линейно и сюръективно отображается на Нот). Этот путь поднимается до линейного пути в т) + m (/¦) df (л + г). Следовательно, f и g можно соединить кусочно-линейной кривой, состоящей из /г-трансверсальных деформаций, и без ограничения общности можно считать, что деформация
— /)/ + /? ft-трансверсальна при
Остается теперь доказать, что с точностью до изоморфизма деформаций гомотопия Ft локально постоянна.
Без ограничения общности можно считать, что /I {0} X Rr == g \ {0} X Rr — 0. Действительно, положив <*<(«) — (1 —0/(0, «) + /g(0, и), мы получим изоморфизм (id, at) между Ft и деформацией
(1 — /) (/ (дс, и) / (0, и)) + / (g (дс, и) — g (0, и)).
Наше утверждение означает, что мы должны уметь находить росток Ф е If (я + г + 1, л+r) в точке {0, 0, t0) и росток aelf(r+ 1) в точке (0, /0), такие,
