Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Для сборки мы получаем рисунок, приведенный ниже (потенциальная функция нарисована в пяти точках пространства U).
Нели мы направим х-координату перпендикулярно плоскости координат (и, о), то увидим, что локальные экстремумы лежат на поверхности {(*, и, о) 14х® —
— 2их + v«0}. Проекция на плоскость [и, v) показывает, что множество критических значений — это хорошо известная сборка. Всякое состояние, (и, параметр которого пересекает верхнюю ветвь сборки снизу зверх, внезапно перескакивает в минимум принадлежащий более далекой от нас части поверх" ности. При пересечении нижней ветви сборки сниэу
15. СЕМЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
165
вверх происходит обратный процесс.
Замечаний: и в тексте соответствует паре (и, о) в примере.
Подробнее этот пример и другие элементарные катастрофы обсуждаются в гл. 17.
16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ
ОБ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Литература: та же, что к гл. 14.
На протяжении этой главы буква tj будет обозначать особенность. Версальные деформации особенности ^ характеризуются условиями трансверсальности, которые мы сейчас опишем в явном виде.
Пусть т} е= m (п)2 — некоторый росток и (г, f) — его /--параметрическая деформация. Пусть / — представитель J. Обозначим через Io(n, I) пространство я-струй с нулевым свободным членом. Определим росток отображения
iff: (Rn+r, 0) -*» Jo(n, 1)
следующим образом: представителем /*/ служит
отображение, переводящее пару (х, и) в fe-струю отображения («/<—¦»¦ f (х у, и) — f (х, и)).
Тогда jif можно рассматривать как обобщение частной производной: это частичное (взятое по переменным х) разложение Тейлора в точке (х, и).
16.L Определение. Отображение f называется k-трансверсальным, если росток iff в начале координат трансверсален орбите fjЛ* (п) точки к]- (т. е. А-струи ростка tj) относительно группы правых преобразований.
Очевидно, что jif (0) = j\ (0) — tj s г\3§ь (л).
Теперь мы можем добавить к основной теореме следующий критерий версальности деформаци§.
ав. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ О ДЕФОРМАЦИЯХ J67
16.2. Теорема (версальность 4Ф 6-трансверсальность). Если росток г] k-определен, то его деформация версальна тогда и только тогда, когда она k-транс-0ереальна.
Самой трудной частью этой главы будет доказательство следующей леммы.
I6.S. Основная лемма. Если росток г\ k-определен tt (г, f), (г, g) — dee k-трансверсальные деформации, то (г, f) ш (г, g).
Прежде всего сформулируем чо-другому определение ^-трансверсальности, используя явную, формулу. На этом дути мы сможем вывести как ©сновную теорему 14.8, так и теорему 16.2 из веновной леммы. Доказательство основной леммы отложим на конец главы.
10.4. Лемма. Отображение f k-трансверсально тогда и только тогда, когда
ш (л) = (dr\/dxt) -f- Vf -f- m (n)*+1,
еде Vf~ (df/dU[ | R" X {0} — dfjdu, (0) )R — вещественное векторное пространство, порожденное указанными элементами.
Доказательство. Из ?Н.8) мы знаем, что касательное пространство к tесть
та (л) (di\jdxt) + их (д)*+|.
Нужно вычислить образ Djff(0). Касательное пространство ro(R"XR0 порождено векторами ,
в поэтому искомый образ порожден векторами
Далее.
168 16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОЗДОВНОП ТЕОРЕМЫ О ДЕФОРМАЦИЯХ
Теперь лемма следует из равенств
«(Я) <<Эл> + rn (n)k+l + (/* (0))R - <an> + И (n)‘+I
и
</f ж; «<»>„+“M*'=
16.5. Следствие. Если Ьх, Ьг — базис вектор-
кого пространства и(л)/((дп) + ®(я)*+,)| то отображение л + k-трансверсально. Я
16.6. Следствие. Если (г, f) — версальная деформация ростка т], то деформация f k-трансверсальна
для любого к.
Доказательство. Ьозьмем fc-трансверсальную деформацию (s, g); ее легко построить при помощи следствия 16.5. По определению версальной деформации, существует морфизм
(Ф, a): (s, g) -*¦ (г, f).
Таким образом, ?*а/оф + а и так как а не зависит от х, то Далее,
поскольку
д/°ф _ <?» д[ <3ф, ( df <5фу ди
°ф _ у* о/ о<р, y1
к, “ Zj д*. дйТ Zj -w
I /-1 * ' v-i v '
Ограничивая это равенство на RnX{0}, получаем
df°<P А дц дф, А <3/ .
*” 2j дгг ¦ жг “** 2^ доГ- ¦ау/1'
' /.1 * * / 1 v
<-] ' V—1
где av/«=i^(0).
По лемме 16.4, деформация / является А-транс-рерсальной. g
16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ О ДЕФОРМАЦИЯХ 169
Итак, версальные деформации &-трансверсальны. Обратное еще проще — достаточно воспользоваться основной леммой.
Доказательство теоремы 16.2 (версальность & fe-трансверсальность). Пусть rj есть /г-определенный росток, (г, f) есть fe-трансверсальная деформация и (,s, ^ — произвольная деформация. Мы должны найти морфизм (s, g)-+{r, f). Построим его так. Существует очевидный морфизм (s, #)-*¦($> f). Последняя
