Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Последняя эквивалентность следует из того, что
(х -f уУ Ч" (х — у)3 — 2х3 -f бхг/’ ~ х’ ху2.
Многочлен х3^- у3 также 3-определен. Следовательно, т) ~ х3 + у3 (гиперболическая омбилическая точка). Доказательство в случае (А) окончено. В
Случай (В),
р (х, у) — (atx -f b.y) (а2х -f b2y)2 ~ x2y.
Заметим, что многочлен x2y не является конечно определенным, поскольку д/дх(х2у)~2ху, д/ду(х2у)=х2 и идеал (ху, х2) не содержат никакой степени у. Однако росток т| конечно определен,' поэтому его струя (бесконечного порядка) не эквивалентна х2у. Обозначим через к наибольшее число, при котором ]кт\ ~ х?у. Без ограничения общности можно считать, что i\ = x2y и у'*+1л = x2y + h(x, у), где h — однородный многочлен степени A -f-1, Преобразуем
росток т] с помощью диффеоморфизма вида Ф:(х,у)~* -> (х -+• ф, у + ¦$), где ф, ^ — однородные многочлены степени к— 11>2. Матрицей Якоби Ф в начале координат служит единичная матрица. Поэтому
»Ф = Л + х2ф -f 2хг/ф + h(х, у).
При подходящем выборе ф, ^ мы можем уничтожить в h все члены, которые делятся на ху или х2. Таким образом, мы можем считать, что
/*+|т1 «Ф«=х*у + лук+х» афО.
Легко проверить, что многочлен в правой части (Л + 1)-определен и, следовательно, л ~ х^г/ + а#‘+| ~
18. СЕМЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
let
^ х?у ± yk+i. Еслн k ^4, то codim т)^ 5. Следовательно, 4 = 3 н + у* ~ зс*у — у* (умножьте на —1 н замените у на — у). Конец доказательства в случае (В). |
Случай (С). Р = (ах -f byf ~ х8, поэтому без ограничения общности можно считать, что рх\ = х3. Отсюда l*i] = х3 + Л, где Л имеет степень 4. Непосредственно проверяем, что
dim y3m (2) = 9,
dim/3(dn) = dim;3(x!'-f A,, Aj)<4, степень А,^3, степень А2^3.
Следовательно, dim /Зт (2)/(дц) ^ 5 > 4. Этот случай невозможен, поскольку codim 4. В
Сличай (D). Если Р = 0, то tiem(2)*. Следовательно, (дц) с tn (2)3 и dim (nt (2)/m (2)3) = 5. Этот случай также невозможен. В
Тем самым доказательство теоремы о семи катастрофах окончено. В
Важность этого результата демонстрирует следующий пример.
Представим себе какую-нибудь химическую систему, описываемую например, п переменными, т. е. точкой xeRn. Эволюция системы описывается фазовым потоком, который определяется некоторой потенциальной функцией V: X -> R, осли «внешние условия» предполагаются фиксированными. Допустим теперь, что внешние условия меняются в зависимости от времени и точки в пространстве. Изменение внешних условий сопровождается изменением потенциальной функции. Для каждой точки г некоторого открытого подмножества l/cR* (пространство-время) определена потенциальная функция Vu\ X -»R. Следовательно, определено дифференцируемое отображение
V: XX U-+ K
162
15. СЕМЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
т. е. семейство потенциальных функций на X, зависящих от параметра u^U. При фиксированных внешних условиях, в фиксированной точке u^U, система находится в минимуме соответствующей функции Vu. Обычно этйт минимум является невырожденной особой точкой.
Разумеется, существуют потенциальные функции с. вырожденными критическими точками, но они «имеют вероятность 0». Довольно легко доказать, что так называемые функции Морса образуют открытое плотное подмножество в множестве всех функций. Функции Морса V определяются следующими двумя условиями:
(i) В каждой особой точке х0 функции V невырож-деяна квадратичная форма вторых производных
В частности, отсюда следует, что росток V в точке х0 2-определен, и его можно заменой координат привести к виду
У(*)-К(0) + Е(±*?).
Кроме того, отсюда следует, что особые точки функции V изолированы.
(ii; Если х ф у — две особые точки, то V (дс) ф Ф И (у)•
15. СЕМЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ
163
В общем положении потенциальная функция V„ является функцией Морса. Предположим, однако, что и меняется, например пробегает одномерную кривую в пространстве-времени. Тогда мы можем спросить, какого рода особенности будет иметь в общем положении это семейство функций Кц.
Выбрав локальные координаты на X в окрестности точки х0^Х и локальные координаты на (У в окрестности «о е?/, мы получим деформацию ростка в точке х0 функции VUq.
Описание всех возможных деформаций содержат версальные деформации. Наконец, если определить некоторым естественным (но достаточно сложным) способом понятие «устойчивой» деформации, то окажется, что семь перечисленных нами катастроф исчерпывают все возможные устойчивые деформации ростков коразмерности ^4 (см. Вассерман).
С точки зрения приложений интересно более подробно (Яшсать геометрический вид семи универсальных деформаций коразмерности ^4. В частности, нас интересует, какие точки пространства внешних параметров модели, т. е. пространства параметров деформации, наиболее важны для описания катастроф» Такими точками оказываются те точки пространства U, в которых функция Уи имеет особенность порядка >2. Другими словами, наш интерес концентрируется на множестве тех точек, ~ которых локальный минимум (или максимум) исчезает.
