Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Брёкер Т. -> "Дифференцируемые ростки и катастрофы" -> 42

Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.

Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы — М.: Мир, 1977. — 208 c.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка): defrostkiikatostrofi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 52 >> Следующая

16. СЕМЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ

Литература: та же, что х гл. 14.

Пусть 1] — особенность коразмерности ^4. Мы знаем, что

codim ц ^ 4 dim (nt (п)/(дг\)) ^ 4 =>

=$> m(n)5 с: (di\/dxi) =$ m (гг)6 с: ш (п) (дц)

^особенность tj 6-определена.

Следовательно, в некоторой системе координат rj записывается в виде суммы многочлена степени ^6 от двух переменных и невырожденной квадратичной формы от остальных переменных (см. 14.13). Мы собираемся с помощью еще одной замены координат привести такой многочлен к нормальной форме. Результат состоит в следующем.

15.1. Теорема (правило семи особенностей (Том)). С точностью до прибавления невырожденной квадратичной формы от остальных переменных и с точностью до умножения на ±1 особенности коразмерности ^4 и ^ 1 правоэквивалентны одной из следующих:

Codtm ч Универсальная Название
деформация
1 X> Xе -f их Складка (Fold)
2 X* X* --- их3 + ох Сборка (Cusp)
(Риман --- Г югонио)
3 X* + их* + VX1 + WX Ласточки» хвост
(Swallowtail или
Dovetail)

158

IS. СЕМЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ

Codlm Л Универсальная Наэпамие
деформация
3 х3 + У* х’ + у3 + wxy --- их --- Гиперболическая
--- vy омбилическая точка
(Hyperbolic Umbi
lic)
3 х3 --- ху2 х3 --- ху- + w (х3 + у1) --- Эллиптическая ом
--- их --- vy билическая точка
(Elliptic Umbilic)
4 X* *« +/*4 + их8+ Бабочка (Butterfly)
+ VX2 + WX
4 х-у + у1 х2У + У* + и>х2 + Параболическая ом
+ ty' --- их --- vy билическая точка
(Parabolic Umbilic)
Доказательство. Из основной теоремы непосредственно следует, что универсальные деформации имеют именно такой вид, как указано в таблице. Мы должны показать, что здесь действительно перечислены все возможные случаи.

1. Коранг т] равен 1.

В этом случае росток т] правоэквивалентен ± хп с точностью до прибавления квадратичной формы. Атак как коразмерность ^4, возможны только случаи х3, х\ х5 и хб(с точностью до умножения на±1).

2. Коранг т) равен 2.

Из этого условия следует, что codimn^s* 3(14.13), поэтому коразмерность q равна либо 3, либо 4.

Положим P0c,y) — j3‘(r\).

Ясно, что Р — однородный многочлен третьей степени и, следовательно, Р разлагается над С в пор-изведение трех линейных множителей:

Р (*, У) = (а>х + biy) (a^-f Ьд) (а^х + Ь^у).
15. СЕМЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ

159

Таким образом, возможны четыре различных случая, которые мы обсудим по отдельности.

(A) Три вектора (a,, bt) е С2 попарно линейно независимы над С.

(B) Два вектора (без ограничения общности можно считать, что это два первых вектора) линейно независимы, а третий вектор кратен второму. В этом случае можно считать, что Р(х, у) = (щх + Ь1у)(а2х + b^yf, где векторы (аи Ьх), (а2, Ь2) линейно независимы. Поскольку разложение на множители единственно с точностью до умножения на константы и многочлен Р вещественный, эти множители, а значит, и векторы (alt bt) могут быть выбраны вещественными (рассмотрите сопряженное разложение).

(C) Все три вектора (alt bt) пропорциональны, но отличны от нуля. В этом случае Р (х, у) — (ах + by)3, (a, b) е R2.

(D) Р(х,д)щ= О

Случай (А). (а) Предположим, что все векторы (aJt bt) вещественны. Возьмем (ахх + bxy), (а^х + b^у) в качестве новых координат. Символом ~ будем обозначать правую эквивалентность. Тогда

Р (*. У) ~ху(ах + by), где а, b Ф 0.

Далее,

ху(ах+Ьу) ~ (аЬ)~1ху (х + у) (замена (х, у) *-*¦ (a*, by)) ~ху(х + у) (замена (х, у) *-¦ (аЬ)~ч* (х, у)) ~х(х1--у1) (замена (дс, у)*-*-2-г/»(х + у,х—у))

— Jf-xy*.

Этот многочлен 3-определен согласно 11.3. Поэтому tj ~ ? — ху2 (эллиптическая омбилическая точка).

(р) Предположим, что два вектора (at, b() комплексно сопряжены. Тогда

Р (х> У) “ (ai* + Ьху) («ах + Ь,у) (а2х + Ьгу).
IS. СЕМЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАТАСТРОФ

Произведение двух последних множителей —это положительно определенная квадратичная форма от х, у. Заменой переменных можем привести ее к виду х2 + у2 и, следовательно, Р (х, у) ~ (ах -f by) (х2 -f у% С помощью поворота координатных осей множитель (ах + by) можно привести к виду сх, где с ф 0. Тогда

Р ~ сх (х2 -f у2) ~ х (х2 + у*) ~ х3 + ху1 ~ х3 -f у3.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed