Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку Ьк конечно, мы получ-им в конце концов, что bk—bk+l — bk+j—.... Это означает, что всегда выполняется соотношение (*), т. е. ни одна неприводимая компонента наибольшей размерности не пропадает. Отсюда вытекает, что (я*) (Xk)czYi для каждого I. Следовательно, если f е Хк, то для каждого I
/-струя ft е (я!) {f} лежит в У;, и мы пришли к про-
тиворечию. |
13. ТЕОРИЯ ТУЖРОНА
147
Доказательство второй части теоремы. Достаточно показать, что если / есть р-строка многочленов степени k, то существует р-строка, скажем Л, однородных многочленов степени fc+l, такая, что (f-{-h)&Y 1 для некоторого l> k.
Положим g=(xf+l, ..., *п+|, 0, ... ,0) (напомним, что п^р). Положим ht — (I — tg. Множество
/l = {feR|/i, еУ,} c=R
является алгебраическим. Действительно, множество Yt алгебраическое, и отображение
/-^(1 _*)/ + #
линейно отображает t в коэффициенты fit (а линейное отображение полиномиально). Таким образом, множество А либо конечно, либо есть все R.
Однако I фА для достаточно больших /, поскольку fi\ — & и пространство Ш (л)/(**+1, .... х?+1) имеет конечную размерность.
Следовательно, множество А конечно для достаточно больших I. Найдем отличную от единицы константу t е R, такую, что t ф А. Тогда А, = (1 — t) f + + Yi для некоторого I. Поскольку компоненты ht и Л,/(1—/) порождают один и тот же идеал, для некоторого /
(т=т) - Ь“f + (т=7 ) ^ ^
что и требовалось доказать. ¦
13.6. Замечание. Те ростки f e# (п), для которых росток Df не является конечным, также образуют подмножество бесконечной коразмерности. Чтобы это доказать, нужно повторить все предыдущие рассуждения, а в конце доказательства заметить, что
(Ьл.1
х\ , .. м хп ) можно представить в виде g = Dq, где q = (*?+2 + ... + **+2)/(/? + 2).
14. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
ОСОБЕННОСТИ
Литература; G. Wassermann, Stability of unfoldlngs, Dissertation, Regensburg, 1973, Springer Lecture Notes, 393(1974).
J. Mather, Right equivalence, manuscript.
Для изучения особенности riem(/j)J, т. e. для изучения ростка ц: (R", 0)->(R, 0), Dti(0) = 0, мы вкладываем этот росток в г-параметрическое семейство ростков следующим образом. Пусть R" — подпространство в Rn+r, определяемое приравниванием нулю г последних координат. Точку пространства Rn+r6yaeM обозначать через (х, и)=*(х,,..., хп,и1г ..., иг), х «= R", и е Rr.
14.1. Определение. Пусть е m (гс) — особенность; r-параметрической разверткой ‘) или деформацией ростка т) называется такой росток f е m (п + г), что f | R” = т). Эта деформация будет обозначаться через
(г, Г)-
Если f — представитель ростка f и (дг0. и0) — точка, близкая к началу координат, то /1 (Rn X («о}. (*о. “о)) определяет росток, близкий к ростку ц. Если мы движемся по пути, соединяющему начало координат с точкой (дг0, и0), то вдоль этого пути росток Г| деформируется в описанный выше росток.
Между некоторыми деформациями особенности tj можно определить отображения и получить таким способом категорию деформаций (фиксированной особенности). Объектами этой категории являются деформации особенности ц. Чтобы пояснить определение морфизма, заметим сначала, что Rn+r расслоено
') В оригинале: unfolding. — Прим. перев.
И. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОСОБЕННОСТИ
над Rr при помощи проекции nr: Rn+r-»• Rr. Всякое отображение деформаций должно быть согласовано с этой структурой расслоения, поскольку именно на слоях этого расслоения определены построенные выше ростки, «близкие к гр- В семействе всех таких
ростков, определенных на слоях вида яГЧ") — = Rrt X {«}, близких к слою я71 (0) = R“ X {0} =* R".
R"
t) определено здесь
Росток, близкий ~к 1), определен здесь
f определено здесь -
2 R
мы находим некоторые из особенностей, «скрывающихся» в г|, а также деформации этих особенностей. Эта структура должна сохраняться.
Морфизм может произвольным образом действовать на пространстве параметров Rr и на слоях вида Rn X {uo}, где щ ф 0. В образе, т. е. в пространстве R, тоже можно было бы допустить произвольные преобразования. Однако мы ограничим наши рассмотрения простейшим случаем, когда разрешаются только трансляции (параллельные переносы). Учитывая все сказанное, мы даем следующее определение морфизма.
14.2. Определение. Пусть (г, /) и (s, g) — две деформации ростка ц. Морфизм
(ф,а): (г, f)->(s, g)
150
14. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОСОБЕННОСТИ
определяется заданием следующих объектов:
(i) ростка ф <=<$ {п + г, п + s), удовлетворяющего условию Ф | Ra X {0} = id,
(ii) ростка Фе^ (л, s), удовлетворяющего условию я5ф = Флг,
(iii) ростка aent(г), удовлетворяющего условию
f = g° ф + аояг.
Взятые вместе, условия (i) и (ii) выражают тот факт, что ф — послойное отображение:
