Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим импликации
(I) dimS(n)Kh.........
(ii) dimS (i*)/((/„ ... ЛР> + m (*)*+') -
dim %A (n)/(f.....
(лемма Накаямы)
w («)* <= <f„ ..., f„)m -f и (n)*+1 =»
(лемма Накаямы)
m (rt)‘+I <= m (n)* c= </,, ..., /p)g w.
При одновременном выполнении последнего условия и условия (ii) имеем dim #(«)/</,, ..Это доказывает, в частности, такое утверждение.
13.1. Замечание, dimS(n)/(flt ..., f_)<oo в гож и только том случае, когда dim?*(n)/(fi, • ¦ fpXй для некоторого k.
Это условие полезно, поскольку оно формулируется в терминах последовательностн конечномерных пространств струй. Сейчас мы введем несколько новых понятий, для того чтобы изложить более элегантно
144
13. ТЕОРИЯ ТУЖРОНЛ
оставшуюся часть главы. Рассмотрим последовательность евклидовых пространств и проекций:
во nfe+1
В (л, р) > ... -> 8А+| (п, р)------->
-*&к{п,р)------р)-> ---------------
13.2. Определение. Подмножество АаВ (п,р) называется проалгебраическим, если существуют алгебраические множества Ак с: &к (я, р), такие, что
fc-i
Легко видеть, что это определение не изменится, если мы потребуем, чтобы n*+l (Л*+1) с Ак. Предполагая выполненным это условие, назовем коразмерностью множества А верхнко грань коразмерностей множеств Л*. Обозначим через я” каноническую проекцию
яГ: В (п, р)(я, р) — 8(п, р)/ш.(л, р)*+|.
13.3. Упражнение. Введем на Ж (п, р) слабейшую топологию, обладающую тем свойством, что все проекции я“ непрерывны относительно топологии Зарис-ского на &к{п,р). Покажите, что проалгебраические множества образуют совокупность замкнутых множеств этой топологии.
Введя эти новые понятия, вернемся к не конечным росткам. Положим
П = {/ = (/„ /Р)1 dim#*(*)/#,......fP)>k).
Множество Yk есть подмножество в Вк {п, р), и замечание 13.1 показывает, что росток' f не конечен в том и только том случае, когда /* (f) е Ук для всех L
со ^
Положим П (я“) У* = У. Тогда совокупность уело-^•*1
вий на / можно записать в виде j {f) е У. Заметим, что У*+1 с;я-1 Уй. Действительно, если
13. ГЕОРИЯ ТУЖРОНА
145
то dim 8 (n)/(fu ..., fp) ^ ft и, следовательно, f & У*+) (здесь мы использовали обозначение я = я*+1).
Сформулируем теперь важный результат этой главы.
13.4. Теорема (Тужрон). Множества У*—алгебраические. Кроме того, если п^р, то Y — проалгебраи-ческое множество бесконечной коразмерности.
Доказательство первой части теоремы, f е У*44 О dim (8k{n)l<fi, ..., fp>) > k <=} dim (<f,, ...f fp) •
• 8k(n)) < dim8k(n) — k.
Обозначим (dim8k(n) — k) через r(k).
Пусть {<p/} — множество всех мономов степени k в 8(п); тогда (fu ..., fp)eYk в том и только том случае, когда ранг линейного отображения
Rp ® (<P/)r -+ &k (п),
е, ® Ф/ /* (/,. ф;)
меньше г (k). Это условие определяется обращением в нуль некоторых определителей, являющихся многочленами от коэффициентов &-струй ростков fj. В
Для доказательства второй части теоремы нам понадобится следующая лемма.
13.5. Лемма, сс Jim У = оо в том и только том случае, когда для каждой k-струи найдутся такие t > k U 1-СТруЯ ЧТО П‘kfl — fk и fl&Yt.
Второе условие можно выразить, сказав, что для каждой струи найдется проектирующаяся в нее конечная струя.
Доказательство леммы. Предположим, что верхняя грань коразмерностей множеств У* равна бесконечности, и что не существует конечной струи, лежащей
над ft €= S"t (п). Тогда (я!) с: У, для всех / > k и, значит, Yi имеет самое большее ту же коразмерность,
что и (я*) fk- Но эта коразмерность не превосходит dim(^*(rt)), а последнее число не зависит от I,
146
13. ТЕОРИЯ ТУЖРОНА
Обратно, предположим, что над каждой Л-струей найдется конечная струя. Положим d{ — codimy,; то* гда
dk< dk+1 ^dk+2 •. •
Если в этой последовательности бесконечное число строгих неравенств, то доказательство окончено. В противном случае без ограничения общности можно считать, что
dk = ^A + i — dk+2 ~ • • • •
Обозначим через Хк неприводимую компоненту множества У*, имеющую наибольшую размерность.
Мы знаем, что при l >k множество (я*) {Хк) неприводимо. Поэтому для любого / > k либо
(•) У/П(я*)“’иА)=(я;)~1и4),
либо левая часть имеет более высокую коразмерность (используйте замечание после 12.11).
Обозначим через Ьк число неприводимых компонент множества Yk, имеющих наибольшую коразмерность. Мы утверждаем, что Ьк ^ bk+i Ьк+2^... . Всякая неприводимая компонента У*+| содержится в
прообразе У* относительно (я*+1) и, значит, содержится в прообразе некоторой неприводимой компоненты множества Yk. Так как dk=dk+l, то неприводимая компонента У*+1 наибольшей размерности
содержится в (я*+|) (Хк) и, значит, совпадает с
to+T (Хк), где Хк — неприводимая компонента У*, имеющая наибольшую размерность.