Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Брёкер Т. -> "Дифференцируемые ростки и катастрофы" -> 38

Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.

Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы — М.: Мир, 1977. — 208 c.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка): defrostkiikatostrofi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 52 >> Следующая


Рассмотрим импликации

(I) dimS(n)Kh.........

(ii) dimS (i*)/((/„ ... ЛР> + m (*)*+') -

dim %A (n)/(f.....

(лемма Накаямы)

w («)* <= <f„ ..., f„)m -f и (n)*+1 =»

(лемма Накаямы)

m (rt)‘+I <= m (n)* c= </,, ..., /p)g w.

При одновременном выполнении последнего условия и условия (ii) имеем dim #(«)/</,, ..Это доказывает, в частности, такое утверждение.

13.1. Замечание, dimS(n)/(flt ..., f_)<oo в гож и только том случае, когда dim?*(n)/(fi, • ¦ fpXй для некоторого k.

Это условие полезно, поскольку оно формулируется в терминах последовательностн конечномерных пространств струй. Сейчас мы введем несколько новых понятий, для того чтобы изложить более элегантно
144

13. ТЕОРИЯ ТУЖРОНЛ

оставшуюся часть главы. Рассмотрим последовательность евклидовых пространств и проекций:

во nfe+1

В (л, р) > ... -> 8А+| (п, р)------->

-*&к{п,р)------р)-> ---------------

13.2. Определение. Подмножество АаВ (п,р) называется проалгебраическим, если существуют алгебраические множества Ак с: &к (я, р), такие, что

fc-i

Легко видеть, что это определение не изменится, если мы потребуем, чтобы n*+l (Л*+1) с Ак. Предполагая выполненным это условие, назовем коразмерностью множества А верхнко грань коразмерностей множеств Л*. Обозначим через я” каноническую проекцию

яГ: В (п, р)(я, р) — 8(п, р)/ш.(л, р)*+|.

13.3. Упражнение. Введем на Ж (п, р) слабейшую топологию, обладающую тем свойством, что все проекции я“ непрерывны относительно топологии Зарис-ского на &к{п,р). Покажите, что проалгебраические множества образуют совокупность замкнутых множеств этой топологии.

Введя эти новые понятия, вернемся к не конечным росткам. Положим

П = {/ = (/„ /Р)1 dim#*(*)/#,......fP)>k).

Множество Yk есть подмножество в Вк {п, р), и замечание 13.1 показывает, что росток' f не конечен в том и только том случае, когда /* (f) е Ук для всех L

со ^

Положим П (я“) У* = У. Тогда совокупность уело-^•*1

вий на / можно записать в виде j {f) е У. Заметим, что У*+1 с;я-1 Уй. Действительно, если
13. ГЕОРИЯ ТУЖРОНА

145

то dim 8 (n)/(fu ..., fp) ^ ft и, следовательно, f & У*+) (здесь мы использовали обозначение я = я*+1).

Сформулируем теперь важный результат этой главы.

13.4. Теорема (Тужрон). Множества У*—алгебраические. Кроме того, если п^р, то Y — проалгебраи-ческое множество бесконечной коразмерности.

Доказательство первой части теоремы, f е У*44 О dim (8k{n)l<fi, ..., fp>) > k <=} dim (<f,, ...f fp) •

• 8k(n)) < dim8k(n) — k.

Обозначим (dim8k(n) — k) через r(k).

Пусть {<p/} — множество всех мономов степени k в 8(п); тогда (fu ..., fp)eYk в том и только том случае, когда ранг линейного отображения

Rp ® (<P/)r -+ &k (п),

е, ® Ф/ /* (/,. ф;)

меньше г (k). Это условие определяется обращением в нуль некоторых определителей, являющихся многочленами от коэффициентов &-струй ростков fj. В

Для доказательства второй части теоремы нам понадобится следующая лемма.

13.5. Лемма, сс Jim У = оо в том и только том случае, когда для каждой k-струи найдутся такие t > k U 1-СТруЯ ЧТО П‘kfl — fk и fl&Yt.

Второе условие можно выразить, сказав, что для каждой струи найдется проектирующаяся в нее конечная струя.

Доказательство леммы. Предположим, что верхняя грань коразмерностей множеств У* равна бесконечности, и что не существует конечной струи, лежащей

над ft €= S"t (п). Тогда (я!) с: У, для всех / > k и, значит, Yi имеет самое большее ту же коразмерность,

что и (я*) fk- Но эта коразмерность не превосходит dim(^*(rt)), а последнее число не зависит от I,
146

13. ТЕОРИЯ ТУЖРОНА

Обратно, предположим, что над каждой Л-струей найдется конечная струя. Положим d{ — codimy,; то* гда

dk< dk+1 ^dk+2 •. •

Если в этой последовательности бесконечное число строгих неравенств, то доказательство окончено. В противном случае без ограничения общности можно считать, что

dk = ^A + i — dk+2 ~ • • • •

Обозначим через Хк неприводимую компоненту множества У*, имеющую наибольшую размерность.

Мы знаем, что при l >k множество (я*) {Хк) неприводимо. Поэтому для любого / > k либо

(•) У/П(я*)“’иА)=(я;)~1и4),

либо левая часть имеет более высокую коразмерность (используйте замечание после 12.11).

Обозначим через Ьк число неприводимых компонент множества Yk, имеющих наибольшую коразмерность. Мы утверждаем, что Ьк ^ bk+i Ьк+2^... . Всякая неприводимая компонента У*+| содержится в

прообразе У* относительно (я*+1) и, значит, содержится в прообразе некоторой неприводимой компоненты множества Yk. Так как dk=dk+l, то неприводимая компонента У*+1 наибольшей размерности

содержится в (я*+|) (Хк) и, значит, совпадает с

to+T (Хк), где Хк — неприводимая компонента У*, имеющая наибольшую размерность.
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed