Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
К \х]о - {g/h i g, he= К [x], h (0)^0}.
Ясно, что эти функции порождают простой идеал в кольце формальных степенных рядов /< [[*]]. Действительно, по теореме о неявной функции можно преобразовать эти функции в первые р координатных функций. Остается только показать, что если
gs/CMo, g = Zavfv. где о,®/([[*]], то gs<f>.
09
Но это равносильно равенству f) ((f) + m1) ®=» (/), где
г—1
через m обозначен максимальный идеал в /С [дгJo-Вычисляя по модулю идеала (/), мы видим, что остается доказать следующее утверждение:
140
12. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРАИЧ. ГЕОМЕТРИИ
Теорема Крулля. Пусть R— нётерово локальное
СО
кольцо и ш — его максимальный идеал. Тогда f) = 0.
r-\
Доказательство. Пусть идеал «п порожден элементами хи ..., хп. Обозначим через /?[Ш] «кольцо
оо
Риса»: = Ц n\'tr (т. е. множество многочленов
г-0
от /, у которых коэффициент при tr лежит в т', с очевидной кольцевой структурой). Тогда элементы xtt.....хnt порождают #[m/] над R, и, значит, по те-
ореме Гильберта о базисе кольцо /?[т/] нётерово.
СП
Положим D — П щГ- Тогда идеал D [*] с. R [m/] конечно
r-I
порожден. Предположим, что все его образующие
8
имеют степень Тогда ?>[/].с: R[m *] • Ц tfD,
r—0
и, сравнивая коэффициенты при /5 + |, находим, что DamD. Значит, D = 0 по лемме Накаямы. В
Для подготовки к доказательству теоремы 12.14 докажем такое утверждение.
12.13. Лемма. Проекция я: Кп+,~*-Кп, определяемая формулой (*!, ..., jc„+i)•—(jfi........*„), является
открытым отображением относительно топологии Зарисского.
Доказательство. Пусть U — открытое в топологии Зарисского множество в Kn+t, т. е. множество = (/Сл+1 — U) алгебраическое. Тогда
X & я (?/)ффя-' (х) [) U — 0 ффя-' (х) <= А.
Таким образом, нужно показать, что множество
V «= е Кп | я-1 (х) с: А) алгебраическое. Предположим, что идеал п (Л) порожден элементами {............/*),
f i ? К * • •, и
fi (^*li * * •» ^n+l) X (^Ii • • * i Xfi) * Хц+it l
ai}<&K[xu . •., *„]•
12. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРАИЧ. ГЕОМЕТРИИ
141
Ясно, что (х(.....х„) е V в том и только том случае,
когда И*!.......хп, х„+,)*=0 при любом значении хп+1,
т. е. в том и только том случае, когда ai; (х,, ..., х„) = 0.' Следовательно,
К = {(*„..., хп)\ац{хи ..., х„) = 0 для всех (t, j)}. I
12.14. Теорема. Пусть V — неприводимое алгебраическое множество в К . Тогда множество л-1 (V) сг /(п+1 также неприводимо и codimK — сосНщя-1^).
Доказательство. Если множество V состоит из одной точки, т. е. V = {а}, то множ ство я-1 {а} непри* водимо. Это вытекает из того, что идеал ((х4 — at) \ i — = 1......п), состоящий из многочленов, обращаю-
щихся в нуль на я”1 {а}, есть ядро отображения
/([Xi, ...) xn+i] —>/С[x„+i],
Х1*-*-а{ для i^n,
Xn+i*-*Xn+l-
Так как /С{хп+1) — кольцо без делителей нуля, то ядро этого отображения является простым идеалом.
Перейдем теперь к общему случаю. Мы должны показать, что если множества Uit U2 cz п~1 (К) открыты и непусты, то U, Г\и2Ф0- Если множество ?/* непусто и открыто, то же верно и для множества я (?//). Поскольку множество V неприводимо, должен существовать элемент аея(^/1)Пя(6/2). Отсюда получаем, что я-1{а}П^^0. Далее, поскольку множество я-1 {а} неприводимо, множества я-1 {а} П?Л и я-1 {а} П П?/г имеют общую точку и, значит, ?/([)U2?=0.
Ясно, что п(К)с:п(я-1(К)), и потому р(п(К))^ в^рМя"1^)))- Обратно, если fu ..., /*<=п(я-‘(У)),
то f[{xi.........хп, а)бп (К) для любой константы а е К.
Кроме того, dfjdxn+l (х,........х„, а) = 0 для (х,, ...
..., х„) е К. Выберем неко.орую точку (х,, ...
..., х„, а) е я-* (К). Тогда
Rk(Jt> e) (f../*)*= Rk, (/, (х, а)....fk (х, а))
и /, (х, а) е К [х,.х„], откуда р (п (я~1 (1/)))<р (п (К)). В
142
IJ. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРАИЧ. ГЕОМЕТРИИ
Последнее рассуждение показывает также, что я"1 {V — 2V) «=* я-1 (К) — Sn-1 (V); это равенство согласуется с нашими интуитивными представлениями, когда мы интерпретируем размерность топологически.
12.15. Единственный пример в этой главе: V*=*{{x, #)еR21у2 — х*(1 — Xs) ==»0},
2'/ — {0}.
13. ТЕОРИЯ ТУЖРОНА
Лятература: J. С. Tougeron, Idiaux de foncttons differentiate leg I, Дал. Inst. FourUr, 18(1968), 177—240,
В условиях различных доказанных нами утверждений о ростках часто встречалось требование ко.неч* ности ростка f: (R", 0) -* (R“, 0), т. е. требование о том, что пространство Ш (n)/{fu ..., fp) имеет конечную размерность. Как велико (неприятное) множество таких ростков ], для которых dim#(n)/{/,, /р) = оо?
