Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
12.10. Теорема. Пусть а с: Ь — простые идеалыв К[х]. Обозначим через d (а) степень трансцендентности К (а) над К, где Д'(а) — Q (/С [х]/а). Определим аналогично d{b). Тогда d(a)^sd(b), и если йфЬ, то d(a)>d(b).
Доказательство. Предположим, что хх,..., xd алгебраически независимы в К0>), но связаны алгебраическим соотношением f{xu...,xd) — 0 в К (а). Это означает, что /(*,, ..xd) принадлежит а, но не принадлежит Ь, что противоречит условию теоремы. Следовательно, d(o)^d(b).
Предположим теперь, что d (а) = a Пусть {х(, ... ..., х*) — базис трансцендентности для К (Ь). Мы предположим, что / е6;и выведем отсюда, что /so. Пусть / представляет элемент из К (а), алгебраический над К (хи ха). Тогда существует многочлен g е К (*i....*,,) [/]. такой, что
.....xd, /) = 0 в К (а).
12. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРАИЧ. ГЕОМЕТРИИ
137
Обозначим произведение знаменателей коэффициентов g в К(хj.......xd) через q{xt............ха)Ф0. Умно-
жим g на это произведение. Получим
А (х, /) « q (х) • g {х, t) е= К [хх.ха, /].
Отсюда A (jcu ..., xd, f) = 0 в К {а) и, значит, h(xu ...
• ••, f)sa, Выбрав g минимальным по отношению
к i, мы можем считать, что h{xt.......xd, 0) ф0 в К (а),
так как в противном случае / == 0 в К (о), т. е. / е а.
Рассмотрим теперь проекцию
Ф: К[х]1а-+К[х]/Ь;
поскольку ф (/) — 0, ф(A (jcj....xd, /)) равно h(x{, .. .
. .., xd, 0) (в зависимости от контекста рассматриваемые многочлены берутся либо по модулю идеала а, либо по модулю идеала I'). По построению, h{xu ...
.... xd,i>f) — 0 в К[х]/а и, значит, А (я,....xd, 0) = 0
в К(Ь). Отсюда следует, что многочлен А (хи ..., ха> 0) нулевой, ибо xh...,xd алгебраически независимы. Это противоречит сделанному ранее предположению, если только f ф а; значит, / е а, что и требовалось доказать. В
о частности, если а = п(ДР) и Ь —n(V), то мы получаем
12.11. Следствие. Если V a W — два многообразия, то dimy^dimtP, причем dim V = dim W в том и только том случае, когда V = 17. В
Размерностью произвольного алгебраического множества А (обозначается dim А) называется наибольшая из размерностей его неприводимых компонент. Число (га —dim Л) называется коразмерностью А. Следовательно, для произвольных алгебраических множеств и& включения А а В следует, что dim А ^ dim В. Если же В неприводимо, то из соотношений А а В и dim А = == dim В следует, что А —В.
138
12. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРАИЧ. ГЕОМЕТРИИ
Если А — алгебраическое множество, определенное
многочленами {}......../*}, то его множество особых
точек определяется равенством
=>{*€= AI Rkx (/,.....fk) не равен своему
Множество А — 2.А называется множеством регулярных точек А, а его точки — регулярными точками. Таким образом, х является регулярной точкой А, если
Rkx (/j..../*) = р (л (Л)) = п — dim А. По определению
ранга идеала, множество регулярных точек А не пусто. Следовательно, множество 2Л строго меньше, чем А. Кроме того, множество 2А алгебраическое, поскольку оио определяется как множество таких точек А, у которых обращаются в нуль все (рХр)*миноры матрицы (dfjdx/).
Связь между приведенным выше определением раз* мерности алгебраического множества и топологическим определением размерности устанавливается следующей теоремой.
12.12. Теорема. Если V cz Кп — алгебраическое много-образце, то множество регулярных точек V — 2V —¦ аналитическое многообразие вещественной или комплексной (в зависимости от контекста) размерности dim V.
Предположим на некоторое время, что этот резуль* тат имеет место, и разложим алгебраическое множество А на неприводимые подмножества: А = Vt U.. . . .. U Vг. Тогда множество
можно разложить в объединение г непустых аналитических многообразий:
Подмножества, которые мы отбросили, являются алгебраическими, поэтому к ним можно применить ту же процедуру. Размерность U2V\,
максимальному значению на Л}.
4-(fU (vinv/juljsv,)
12. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРАИЧ. ГЕОМЕТРИИ |39
вычисленная по алгебраическому определению, меньше размерности V(. Следовательно, итерации этого процесса оборвутся после (dim Л) шагов. В результате этой конструкции мы разложим А в дизъюнктное объединение аналитических многообразий, размерности которых ^dirni4 (и по крайней мере одно из них имеет ту же размерность, что и А).
Доказательство теоремы. Пусть х е V — 2V, ска*
жем jc — 0, и f,......fp en(V) — такие многочлены,
что RM/!, • • м fP)~ Р — п— dim V. Тогда V czW =* = {х | /| (х) = ... = fp (х) = 0}. Поскольку множество V неприводимо, оно содержится в некоторой неприводимой компоненте, скажем Н^о» множества W, и мы имеем p = Rkn(V')^Rkn(UP0)^p, где первое неравенство следует из теоремы 12.10, а второе вытекает из того, что f{...../реп(Ц70) и OeV сг №0. Следо-
вательно, Rk п (У) — Rkn^o), и так как, по теореме
12.10, V = Wq, то V — неприводимая компонента W. Теперь нужно доказать, что множество W локально (в смысле топологии Зарисского) неприводимо (т. е. локально W = V). Это завершит доказательство теоремы, поскольку локально W является аналитическим многообразием. Но локальная неприводимость W означает, что функции {/,, ..., fp) порождают простой идеал (/) в локальлом кольце
