Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Л = {*е=Г|М*)==...==/г(*) = 0}
(мы пишем * = (*!.....*„)).
Пусть А — произвольное подмножество в Кп. Обозначим идеал, состоящий из всех Многочленов, обращающихся в 0 на Л, через и (Л). Таким образом,
п(Л)=*{/е*С[х]|/(а) = 0 для всех аеЛ}.
Обратно, всякий идеал а с: К [х] позволяет определить подмножество V (а) с: Кп, называемое множеством нулей идеала а:
V (а) = {х е Кп | / (х) — 0 для всех / е а).
12. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРАИЧ. ГЕОМЕТРИИ J3|
Следующая теорема устанавливает, что подмножество
V (а) алгебраическое.
12.2. Теорема Гильберта о базисе. Кольцо много~ членов К [*] нётерово, т. е. всякий идеал в нем конечно порожден (см. Ленг, Алгебра). Я
Согласно этой теореме, V (а) — это множество общих нулей образующих {fu ..., fr} идеала а. По определению, множество А является алгебраическим, если справедливо равенство V (и (Л)) = А. Для всякого подмножества А сг Кп выполняется включение
V (п (Л)) гз А. Следовательно, V (п {А)) — это наименьшее алгебраическое подмножество, содержащее А.
Если А и В — алгебраические множества, то
А а В <=$ п(Л):э л(В).
Если а и Ь — идеалы в К [*], то
° а с: Ь I' (а) К (Ь).
Всякой убывающей последовательности алгебраических множеств
Ai А2=> ...
соответствует возрастающая последовательность идеалов, обращающихся в нуль на этих множествах!
a, <=za2<=za.3c- ... (<^ = «04,)).
Поскольку кольцо к [*] нётерово, существует такое п,
оо
что все образующие идеала а = |J at содержатся в а„,
• <"1 I
следовательни, и = а„. Таким образом, последовательность идеалов перестает возрастать, начиная с номера п, а значит, последовательность алгебраических множеств перестает убывать^ начиная с номера п. Итак, справедливо утверждение:
12.3. всякая строго убывающая последовательность алгебраических множеств конечна (теорема о базисе).
Отсюда следует, что /С" можно наделить топологией, в которой роль замкнутых множеств будут
132 12. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРАИЧ. ГЕОМЕТРИИ
играть алгебраические множества. Ьто так называемая топология Зарисского. В случае, когда /С == R или С, она гораздо слабее, чем обычная топология.
Объединение двух алгебраических множеств очевидно является алгебраическим множеством, поскольку У (a) U V (b)» V (а П 6). Всякое пересечение алгебраических множеств на самом деле, как мы видели, сводится к конечному пересечению. В качестве множества многочленов, определяющих Л f| В, можно взять объединение множества многочленов, определяющих Л, и множества многочленов, определяющих В.
Всякое алгебраическое множество можно наделить топологией, индуцированной топологией Зарисски'о на Кп, и для произвольного подмножества Acz Кп множество V (п (Л)) является- замыканием Л в топологии Зарисского.
Из определений следует, что идеал n(V (а)) всегда содержит а, но равенство в общем случае может не иметь места.
12.4. Теорема о нулях (Гнльоерт>. пели полеК ал-гебраически замкнуто, то идеал n (V (а)) является радикалом идеала а, т. е.
п (К (а)) *= {/ г К [*] i fr е а для некоторого г)
(см. Ленг, Алгебра). |
Очевидно, что радикал идеала а содержится в n (V (а)), поскольку
frea#nV(a) = 0=^f|V(a) = 0=#f en(V (а)).
12.5. Определение. Алгебраическое множество Л называется неприводимым, если для любых двух алгебраических множеств Ах н Л2, удовлетворяющих условию Л = Л,1М2> либо Л = Л|, либо Л== Л2. Неприводимое алгебраическое множество называют также (алгебраическим) многообразием.
Многообразие не может быть разложено в объединение двух меньших алгебраических множеств. Взяв дополнения в топологии Зарисского, можно перефразировать это определение: алгебраическое множество Л
13. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕВРАИЧ. ГЕОМЕТРИИ ]33
называется многообразием, если пересечение любых двух его непустых открытых подмножеств непусто.
Произвольное алгебраическое множество Л, не являющееся неприводимым, можно разложить в объединение алгебраических множеств: А — Ау U А2. Итерируя этот процесс, мы придем в конце концов к разложению j4=»/4|U ... UA на неприводимые множества (по теореме о базисе). В случае, когда между членами этого разложения нет включений At cz Aj при i=?j, это разложение единственно с точностью до перемены порядка его членов. Действительно, если Л = U
— второе разложение без включений, то для каждого I существуют такие / и к, что At сг В/ cz Ak\ это вытекает из неприводимости множеств At и В/. Поскольку между членами обоих разложений нет включений, то t = и At — Bf.
Неприводимые множества в таком разложении А называются неприводимыми компонентами А.
12.6. Алгебраическое множество V неприводимо в том и только том случае, когда идеал п (7) простой.
(Идеал п называется простым, если либо g е п.)
