Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Брёкер Т. -> "Дифференцируемые ростки и катастрофы" -> 33

Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.

Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы — М.: Мир, 1977. — 208 c.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка): defrostkiikatostrofi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 52 >> Следующая


Как это часто бывает, в комплексном случае вся ситуация становится более приемлемой. Введем обозначения:

^(п) —кольцо вещественно аналитических рост* ков (Rn, 0)-R;

О (п) — кольцо комплексно аналитических роетков (Сл, 0)->С.

Имеются канонические вложения st (n)cz&.(n) и si- (я) cz О (я).

11.15. Лемма. Пусть fest[n). Тогда

dimR&{n)l{dfldXi)%(n) < оо в том и только том случае, когда

dime О (n)J{dfldzi)0 (д) < оо.
II. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЁННЫЕ РОСТКИ

¦127

Доказательство. Обозначим максимальные идеалы в U (я) и О (я) через т* (я) н т# (я).

=ф. Из т (я)* сг /jr—) следует включение m (я)* с:

'"«'УМ

сг Ы *+|. Кроме того,

(*) (я/ с + тА (п)ш.

Действительно, моном феш/(п)‘ степени k может быть .Записан в виде

Ф (*)-?)., W-|-Mmodm (п)*«

Заменим каждое его многочленом Тейлора порядка k. Остаток лежит в т(я)*+! и аналигичен, следовательно, выполняется (*).

По лемме Накаямы,

В частности, всякий моном <р степени k при* надлежит идеалу 0f/dxt)A(n)t а этот идеал содержится

в (df/dxt)ow. Но такие мономы порождают ша (л)*, значит,

в»(л)‘с:Швм-

Ф. Производные df/dz, (г) принимают веществен* ные значения при вещественных г. Это означает, что, взяв вещественные части в щ(п)*с• (df/dzt)ow, мы получим пи (я)‘ с: {df/dzt)A (я) и, следовательно.

Эта лемма показывает, что если росток f вещест* венно аналитичен н комплексный росток /еС?(п)
128

VI. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ

алгебраически изолирован, то J алгебраически изолирован как вещественный росток.

11.16. Теорема. Комплексно аналитическая особенность алгебраически изолирована в том и только том случае, когда она изолирована.

Доказательство. Пусть росток feC7(n) алгебраически изолирован; тогда Шд (п)k cr (dffdzi). В частности, z\ ?= (df/dzi), поэтому

2 (f) с {z j Df (z) = 0} ~ cr {z z\ = 0}" = {0}~.

Обратно, предположим, что {О}'- = (S (/))'. Тогда {0}~ =¦ {z\Df {z) — #}", поскольку в противном случае нашлась бы содержащаяся в {z j Df [z) — 0} вещественно аналитическая кривая ф(/), такая, что ф(0) = 0 (см. лемму об отборе кривых в книге Милнора). Вдоль этой кривой мы имели бы Df = 0 и, следовательно, / —0, поскольку / (0) == 0. Но это означало бы, что кривая ф (0 лежит в 2 (/}, т. е. начало координат — неизолированная особенность.

Росток множества нулей идеала (dfjdzt) состоит только из начала координат. Идеал всех ростков, обращающихся в нуль в начале координат, — это идеал (z,). Теорема о нулях для голоморфных ростков (см. Ганнинг и Росси) утверждает, что в таком случае второй идеал является радикалом первого. Радикал —* это множество таких ростков g, некоторая степень которых лежит в (df/dzt). Следовательно, (z{)kl е е (df/dzi)i и отсюда вытекает, что т0(л)* с (dffdzi) для достаточно большого k.

Вот одно из следствий предыдущих теорем: голоморфный росток с изолированной особенностью в начале координат всегда можно преобразовать в полиномиальный росток с помощью голоморфной замены координат. Это вытекает из того, что для аналитических ростков все описанные выше преобразования могут быть выбраны аналитическими.
11. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ

Вопрос о том, является ли росток f е 8 (л, т) конечно определенным при т> 1, можно решать точно таким же образом, как и при m —1. Однако при tti > 1 росток конечно определен в том и только том случае, когда он имеет ранг т. Поэтому в общем случае мы поступим более разумно, если разрешим делать преобразования образа, т. е. Rm, и будем изучать орбиты действия группы $ (л) X $ (т) на 8(п, т). В этом случае тоже имеются явные условия конечной определенности, которые формулируются в терминах вложения конечномерных векторных про* странств, Этн условия анологичны тем, которые приводились выше, и мы ие будем их больше обсуждать в этой книге. Метод доказательства тот же, что представленный выше для теоремы Мезера. Однако в том месте, где мы воспользовались леммой Накаямы, приходится применять подготовительную теорему Маль-гранжа
12. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Литература: С. Ленг, Алгебра, «Мир», М., 1968.

S. Lang, Introduction to algebraic geometry, Wiley, 1964.

В. Ходж, Д. Пидо, Методы алгебраической геометрии, т. 1-3, ИЛ, М., 1954, 1955.

Н. Whitney, Elementary structure о! real algebraic varieties, Ann. of Math., 66 (1957), 545—556.

В этой главе собраны вместе несколько фактов из алгебраической геометрии, которые понадобятся нам в следующей главе. Материал этой главы не был бы столь обширен, если'бы нам не пришлось еще ввести некоторую технику, необходимую для разложения алгебраических множеств. Эта техника — первый шаг к теории стратификации, играющей важную роль в изучении особенностей.

Пусть К — некоторое поле (обычно R или С), и пусть Кп — векторное пространство я-строк над К.

12.1. Определение. Подмножество А с: Кп называется алгебраическим, если существуют такие многочлены /, fr<=/([*] = К[х{, ..., хп], что
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed