Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Как это часто бывает, в комплексном случае вся ситуация становится более приемлемой. Введем обозначения:
^(п) —кольцо вещественно аналитических рост* ков (Rn, 0)-R;
О (п) — кольцо комплексно аналитических роетков (Сл, 0)->С.
Имеются канонические вложения st (n)cz&.(n) и si- (я) cz О (я).
11.15. Лемма. Пусть fest[n). Тогда
dimR&{n)l{dfldXi)%(n) < оо в том и только том случае, когда
dime О (n)J{dfldzi)0 (д) < оо.
II. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЁННЫЕ РОСТКИ
¦127
Доказательство. Обозначим максимальные идеалы в U (я) и О (я) через т* (я) н т# (я).
=ф. Из т (я)* сг /jr—) следует включение m (я)* с:
'"«'УМ
сг Ы *+|. Кроме того,
(*) (я/ с + тА (п)ш.
Действительно, моном феш/(п)‘ степени k может быть .Записан в виде
Ф (*)-?)., W-|-Mmodm (п)*«
Заменим каждое его многочленом Тейлора порядка k. Остаток лежит в т(я)*+! и аналигичен, следовательно, выполняется (*).
По лемме Накаямы,
В частности, всякий моном <р степени k при* надлежит идеалу 0f/dxt)A(n)t а этот идеал содержится
в (df/dxt)ow. Но такие мономы порождают ша (л)*, значит,
в»(л)‘с:Швм-
Ф. Производные df/dz, (г) принимают веществен* ные значения при вещественных г. Это означает, что, взяв вещественные части в щ(п)*с• (df/dzt)ow, мы получим пи (я)‘ с: {df/dzt)A (я) и, следовательно.
Эта лемма показывает, что если росток f вещест* венно аналитичен н комплексный росток /еС?(п)
128
VI. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
алгебраически изолирован, то J алгебраически изолирован как вещественный росток.
11.16. Теорема. Комплексно аналитическая особенность алгебраически изолирована в том и только том случае, когда она изолирована.
Доказательство. Пусть росток feC7(n) алгебраически изолирован; тогда Шд (п)k cr (dffdzi). В частности, z\ ?= (df/dzi), поэтому
2 (f) с {z j Df (z) = 0} ~ cr {z z\ = 0}" = {0}~.
Обратно, предположим, что {О}'- = (S (/))'. Тогда {0}~ =¦ {z\Df {z) — #}", поскольку в противном случае нашлась бы содержащаяся в {z j Df [z) — 0} вещественно аналитическая кривая ф(/), такая, что ф(0) = 0 (см. лемму об отборе кривых в книге Милнора). Вдоль этой кривой мы имели бы Df = 0 и, следовательно, / —0, поскольку / (0) == 0. Но это означало бы, что кривая ф (0 лежит в 2 (/}, т. е. начало координат — неизолированная особенность.
Росток множества нулей идеала (dfjdzt) состоит только из начала координат. Идеал всех ростков, обращающихся в нуль в начале координат, — это идеал (z,). Теорема о нулях для голоморфных ростков (см. Ганнинг и Росси) утверждает, что в таком случае второй идеал является радикалом первого. Радикал —* это множество таких ростков g, некоторая степень которых лежит в (df/dzt). Следовательно, (z{)kl е е (df/dzi)i и отсюда вытекает, что т0(л)* с (dffdzi) для достаточно большого k.
Вот одно из следствий предыдущих теорем: голоморфный росток с изолированной особенностью в начале координат всегда можно преобразовать в полиномиальный росток с помощью голоморфной замены координат. Это вытекает из того, что для аналитических ростков все описанные выше преобразования могут быть выбраны аналитическими.
11. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
Вопрос о том, является ли росток f е 8 (л, т) конечно определенным при т> 1, можно решать точно таким же образом, как и при m —1. Однако при tti > 1 росток конечно определен в том и только том случае, когда он имеет ранг т. Поэтому в общем случае мы поступим более разумно, если разрешим делать преобразования образа, т. е. Rm, и будем изучать орбиты действия группы $ (л) X $ (т) на 8(п, т). В этом случае тоже имеются явные условия конечной определенности, которые формулируются в терминах вложения конечномерных векторных про* странств, Этн условия анологичны тем, которые приводились выше, и мы ие будем их больше обсуждать в этой книге. Метод доказательства тот же, что представленный выше для теоремы Мезера. Однако в том месте, где мы воспользовались леммой Накаямы, приходится применять подготовительную теорему Маль-гранжа
12. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Литература: С. Ленг, Алгебра, «Мир», М., 1968.
S. Lang, Introduction to algebraic geometry, Wiley, 1964.
В. Ходж, Д. Пидо, Методы алгебраической геометрии, т. 1-3, ИЛ, М., 1954, 1955.
Н. Whitney, Elementary structure о! real algebraic varieties, Ann. of Math., 66 (1957), 545—556.
В этой главе собраны вместе несколько фактов из алгебраической геометрии, которые понадобятся нам в следующей главе. Материал этой главы не был бы столь обширен, если'бы нам не пришлось еще ввести некоторую технику, необходимую для разложения алгебраических множеств. Эта техника — первый шаг к теории стратификации, играющей важную роль в изучении особенностей.
Пусть К — некоторое поле (обычно R или С), и пусть Кп — векторное пространство я-строк над К.
12.1. Определение. Подмножество А с: Кп называется алгебраическим, если существуют такие многочлены /, fr<=/([*] = К[х{, ..., хп], что