Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
UJB. Леммд. Пусть — росток с k-струей
f е (п). Обозначим через f (п) орбиту f при дей-
ствии 8к(п)Х &k(л)- Обозначим через Т(л)
касательное пространство к этой орбите в точке f, рассматриваемое как подпространство евклидова пространства Тогда
Т,Шп) = т(п)(Л-...........-j—-) mod m(rt)ft+l.
Доказательство. Рассмотрим росток 6: (r"+i, О) —>
-*(Rn, 0), (х, 0 *-> б (х, t) = 6t (х), где 50 = id: (Rft, 0)—*-->(Rn, 0).
Это росток дифференцируемого однопараметрического семейства преобразований из Я (и), имеющего тождественный росток при нулевом значении параметра. Такой росток индуцирует росток пути (R, ())-> -*¦ Фк (п), f), °&f «Векторы скорости таких пу-
тей в. момент времени 0» образуют касательное пространство Tff&k(n). Если мы запишем б(/, х) в виде x-f e(f, х),. то на росток ве?(г + 1,в) налагаются только ограничения е(0, х)=0, е(/, 0) = 0. Таким образом, следующие векторы, приведенные по модулю от(л)*+1» исчерпывают все касательные векторы:
124
II. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
Поскольку на в нет других ограничений, кроме указанных выше, производная dtt/dt |*_0 может быть любым элементом из т(п). Это означает, что касательное пространство есть m (п) {df!dxt) mod m (n)k+l
Мы уже отметили выше, что достаточность ростка на самом деле есть свойство его струи, и теперь поясним это более подробно. По аналогии с 11.3 r-струя f е Шг (п) называется k-onpedeленной (для некоторого к^г), если для любого ?&&г(п), удовлетворяющего условию nrJ = n'kg е 8ь. (п), существует элемент /?еД.(п), такой, что f *=>$<> ft.
11.9. Следствие (теоремы Мезера 11.3). Ест f^${n) и струя /*+1 (/) k-определена, то росток f k-определен.
Доказательство. Положим
I/- {*е*4+1 (л) |и*+«* =
Обозначим через V =/A+1 (f)&k+i («) орбиту струи }k+l(f) под действием правых преобразований.
Если струя jk+](f) ^-определена, то множество (k + 1)-струй с той же к-струей, что и у /, содержится в орбите струи j*+l(f), т. е. О czV. Следовательно, TjUcTfV. Однако TfU = rak+' (п) mod mk+i (п), поскольку всякая струя g е {/ отличается от /*+1 (f) только в членах порядка 1. По лемме 11.8,
ш (n)ft+1 a nt (п) {df/dxt)mod m (л)*+2, значит, по теореме Мезера, росток f (к + Допределен. Но струя /*+* (f) к-определена, поэтому росток f также А-определен.
Это доказательство можно обобщить и получить такой результат.
11.10. Следствие.
m (п)к с: m (п) (dfjdxt) росток J k-определен
11, КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
125
В частности, росток f 6^ (п) является конечно определенным в том и только в том случае, когда росток Df: (R", 0) -»¦ R" конечен.
Доказательство. Первая импликация следует из теоремы Мезера. Если росток j ^-определен, то струя }H+l (/) ^-определена и из доказательства первого следствия получаем, что
m(n)k+i cnW(l) + i(ft)w,
Отсюда, по лемме Накаямы, m(n)*+1 czm(n){df/dxi) (см. второе замечание после 11.3).
Наконец, в 11.4 и предшествовавших замечаниях мы видели, что условие m (n)k cz Jn (n){dfjdxt) эквивалентно конечности ростка Df.
Утверждение о том, что конечная определенность ростка / равносильна конечности Z>f, —это теорема, принадлежащая Тужрону. Из предыдущего вытекает, что верно более точное утверждение:
Если dim 8 (n)l(dfldxi) = k, то росток f (k -+- ^-определен.
11.11. Определение. Росток ]&8{п), удовлетворяющий условию f (0) — Df (0) ** 0, называется особым ростком, или просто особенностью. Особенность называется изолированной, если росток множества 2(/)= = {xeR'l|/ (х) =»Df (х) = 0}"~ совпадает с ростком множества {О}'. Особенность / называется амебраи* чески изолированной, если росток Dj конечен (т. е. росток f конечно определен).
11.12. Замечание. Алгебраически изолированная особенность изолирована, но существуют изолированные особенности, не являющиеся алгебраически изолированными.
Доказательство. Если ш (п)к сг (д}/дх{)^ (п> и, в част* носги, х* е (df/dx^^ для всех /, то из-равенств*
126
И. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
Df(x) = 0 следует, что х* — 0, откуда xt — 0. Следовательно, алгебраически изолированная особенность изолирована.
С другой стороны, ехр(—1/дс2) — это пример изолированной особенности с нулевой струей. Следовательно, эта особенность алгебраически не изолирована.
Вот еще один интересный пример.
11.13. Упражнение. Покажите, что особенность {х2 + у2)2 s & (2) изолирован^, но алгебраичесхи не изолирована.
11.14. Замечание. Росток {х2 + г/2)7 не является конечно определенным, но он определен своей бесконечной струей. Это верно для всякого вещественно аналитического ростка с изолированной в вещественном смысле особенностью. Такие ростки, кроме того, конечно определены относительно группы преобразо-ваний класса С* для любого фиксированного к < оо. Это утверждение вытекает из неравенства Лоясевича (см. Мальг-ранж, Идеалы дифференцируемых функций, стр. 73) и работы: Takens F., A note on suffl* ciency of Jets, Invent. Math., 13 (1971), 225—23U
