Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Мы хотим решить уравнения (i), (ii), (iii') относи* тельно И. Для этого сделаем такое утверждение.
11.5. Если существует росток |: (Rn X Rr(GF/o))-> R4,
обладающий свойствами
(“) 0Ь(*.0+-?<*.«=о.
I *
(Ь) || (0, 0 = 0 для всех I,
го существует росток Я, удовлетворяющий условиям
(i), (И) a (iii').
Для того чтобы доказать это утверждение, нужно решить дифференциальное уравнение относительно Н:
^•(х,0“1(Я(*.0./)
с начальным условием Ни— id. Существование решения этого уравнения следует яз теории обыкновенных
120
11. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
дифференциальных уравнений. Подставляя Н вместо х в (а), мы получаем (in'), а используя (Ь), мы видим, что уравнение
¦§•(0, 0“6(Я(о, t),i)
имеет единственное решение Н (0, 0 = 0. Отсюда следует (ii), a (i) есть не что иное, как приведенное выше начальное условие.
Итак, остается только найти ростки fj, удовлет-ворпющие условиям (а) и (Ь).
Мы будем сейчас работать с кольцом ростков (Rn X R, (0, io)) -> R, которое обозначим через В (п + 1). Пусть В (п) — подкольцо в В(п-\-1), состоящее из ростков, не зависящих от i, и fit (п) — максимальный идеал в В (п). Мы будем искать элементы в В (я + 1). Условие (Ь) означает, что
(Ь) е m (л) • В (п + 1) для каждого i.
Согласно 4.2, отсюда вытекает, что для каждого I существует-росток е В (п -f 1), / = 1, ..., п, такой,
что
h(x, = От
Следовательно, существование ростков удовлетво-ряющих условиям (а) и (Ь), эквивалентно следующему утверждению о ростках в В(п-\- 1):
¦<*>¦<•&.......&>,
г дР
01 \ и*п / (а+,)
Однако =-|r ((1 — 0/+/g)~ff'-fe m (n)k+l,
так как, по предположению, / и g' имеют одну и ту же ft-струю. Таким образом, достаточно показать, что
(а, Ь) m (h)*+1 ст(п) • (—-)
*</»+!*
! Г. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
121
Из условий теоремы получаем
(.) m(n)k'$(n+l)czm{n)-UL) +
'axt'V (п+l)
+ nt (л)*+| -8(n+\)c: <=m(n)(-?-\ + т(п+1)-т(п)кёГ(п + 1).
\°xlf % (П+l)
Второе включение вытекает из того, что
~ —-§L = / ~ (g - /) е m (я)‘
и m(n)czm(n+1).
Заметим теперь, что 8 (п + 1)-модуль ю(л)* • Ш {п + 1) конечно порожден, а именно порожден мономами от Xi степени к. Применим следующую форму леммы Накаямы:
AczB+ т- A=$AczB к включению (*). Мы получим (а, Ь):
m (*)t+1 с= от {п)к • & (л + I) с m (л) (¦§-)
xoxl'\f(n+l)
11.6. Правые преобразования (r-преобразования) и r-эквивалентность можно определить и для струй, т. е. для формальных степенных рядов, а также для
формальных степенных рядов по модулю m(n)* (т. е.
элементов из Rt*i, *n)ft).
Положим
8k (я)== группа ft-струй ростков из 3S(n)~
=группа ростков л-строк многочленов степени ft:
/ W ~ (/1 (^1» • • •» ^»)р • • •'» fafelt • • •». ^п))»
причем матрица Df (0) = (dfijdxt (0)) обратима и / (0) = 0. Групповая операция индуцирована композицией отображений.
Положим
&к (п, п) — (R [х,..............хУ+')п.
122
•П. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
Это евклидово пространство размерности п • (Л^*) •
Поскольку i*(n) представляет собой подмножество в &к{п, ,п), определенное условиями det {dfifdxj (0)) ф 0
и / (0) = 0, то Si к (ft) — дифференцируемое многообразие.
Групповая операция в #*(л):
(л) X Я* («) ¦*?(*).'
(/(*). g (*))*-*/(в (*)) mod (х,.xft)*+l
является дифференцируемым отображением. Коэффициенты композиции f ° ? получаются при подстановке коэффициентов f н ? в некоторые канонические многочлены. Отображение
Як (п) -+ Як (ft), определяемое формулой
I (дс) >-*¦ f~l (х) пнхЦдс,.x„>*+1,
также дифференцируемо.
Дифференцируемое многообразие, на котором введена структура группы так, что групповые операции дифференцируемы, называется группой Ли.
11.7. Упражнение. Докажите, что dim $*(n, т)= 1-0
Группа Ли Як (л) действует на Вк(п, т) с помощью композиции &к(я, т) X &к(п)-*¦ &к(п, т): Q, &)-*f в?.
Это действие совместимо с композицией действия Я{п) на S (л, т) и взятия струи, т. е. следующая диаграмма коммутативна:
В (п, т) ХЯ (ft) 9 (/», т)
/*хЛ| J/*
& к (ft’» ft*) X (ft) -> ?* (ft, m)
П. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
123
Классы правоэквивалентных отображений в 8 (п, т)
— это орбиты действия 38 (rt), а классы эквивалентности их 6-струй — орбиты действия («) на 8к (п, т). Следовательно, если ростки f, g е IГ (а) правоэквн-валентны, то f и ? лежат в одной и той же орбите действия $*(**) на (я). Рассматривая эти конечномерные орбиты- в конечномерном евклидовом пространстве, мы получаем необходимое условие г-экви-валентности: