Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
/г-определенность ростка f — это скорее свойство многочлена /*/, чем самого ростка J, Каждый росток, Л-струя которого есть ^-определенный многочлен, превращается р этот многочлен в подходящей системе координат. Таким образом, в этой ситуации А-струя определяет соответствующий росток.
В этой главе изучается следующий вопрос: какие струи из &k (п) определяют соответствующие им ростки?
Рассмотрим несколько примеров.
1. Никакая 0-струя не определяет росток.
2. #,(/i) = RXR'\ поскольку /7 =/0 + Zи
росток J 1-определен в том и только том случае, когда хотя бы одна из первых производных f в начале координат отлична от 0 (или, эквивалентно, ¦0/(0) т^О). Это объясняется тем, что тогда / можно привести к виду (лс,, ..., *„) -* /0 +
3. Лемма Морса утверждает, что если / е Ш (п) и ?>/(0) —0, то росток / 2-определен в том и только том случае, когда
det {dPfldxt dxj{G)) Ф 0.
Эти примеры показывают, что недостаточные струи встречаются тем реже, чем выше степень многочлена. Недостаточные 1-струи образуют прямую RX{0} в R"+1. Определена проекция пространства 2-струй в пространство 1-струй, и слой над каждой 1-струей —
И. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
117
это пространство симметрических матриц, т. е. пространство всевозможных коэффициентов мономов степени 2. Над каждой точкой линии недостаточных' 1-струй недостаточные 2-струи также образуют множество меры нуль, заданное условием {det (oif/) = 0} в пространстве симметрических матриц {(а*/)}.
Цель этой главы — доказать приведенный ниже результат. Это один из многих результатов, полученных Мезером в этой области, причем большинство из них значительно сильнее.
11.3. Теорема. Пусть и пусть
m М* с m («) • (Я.........w + m (л)‘«.
тогда росток f k-определен.
Начнем с нескольких замечаний.
Условие теоремы можно переписать в виде
m (п)* с: ш (п) • (dffdxi) mod ш (л)‘+1
({df/dXi) — сокращение для (df/dxu dfldxn)y(n)), и это условие есть условие на А-струю ростка f, как и должно быть.
Из условия
и (п)* <=. m (л) (dfjdx,) + га (я) • от (л)‘
по лемме Накаямы вытекает, что
m{n)k <= га (n){df/dxt\ (п).
Следовательно, это условие эквивалентно предположениям теоремы. Однако формулировка теоремы имеет то преимущество, что в ней участвуют только конечномерные векторные пространства. Это вытекает из первого замечания. Для каждого явно заданного ростка эти конечномерные пространства могут быть явно вычислены.
Последняя формулировка условия теоремы показывает, что пространство
#(«)/(*(л) •(<?№»
118
11. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
конечномерно и порождено мономзми степени ^к. Обратно, предположим, что пространство Ш (п)/т(п) •
• (df/dxi)) имеет размерность к. Положим А = = S (n)fm(n)(dffdxi). По лемме Накаямы
0 = ш(л)'Лст(п)|"|Ас ... ст(п)ДсД,
где 1^.к, повкольку dimA=k. Следовательно,
tit (л)* с т(л)' с: m (rt) (dffdxi).
Далее, Ш (п) изоморфно nt(rt)©R (f переходит при этом изоморфизме в (/ — /(0))®/(0)). Следовательно,
»(п) (df/dXij + (dfldxt>R = (df/dxi)^ (n)
и конечномерность пространства & (n)jm (n) •
• (dfjdxi) эквивалентна конечномерности пространства В [n)l{dfjdXi)^ (п). Следовательно,
11.4. Если росток Df: (R", 0)-*Rn конечен (опре* деление 6.8), то росток J конечно определен {k-onpe~ делен для некоторого к).
Повторяя приведенные выше рассуждения, использующие лемму Накаямы, но положив на этот раз А-=% (n)l(df/dxi), находим, что если dim (8 (n)/{Dfy •
• m {п) & (п))« k, то росток f (k + 1)-определен.
Теперь приведем доказательство теоремы.
Пусть /, g е ^ (л) - два ростка с одной и той же Л-струей. Мы должны показать, что существует росток Лей(п), для которого J»h = g. Для этого мы включим ростки J и g в однопараметрическое семейство ростков F:
F(x, 0==(1 — t)f(x) + tg(x), te. R, xeR'*.
Определим росток Ft&8{n) формулой Ft{x)~
— F{x, i). Мы хотим доказать, что для каждого /0е Н найдется некоторое е > 0, такое, что любой росток Ft с | / — to | < е ^-эквивалентен Ft,. Отсюда ввиду связности R будет следовать теорема. Для того ^тобы
IJ. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ'
1)9
доказать это утверждение относительно F, рассмотрим росток
Я: (R°XR, (0, fa))-Rn.
Обозначим росток Н(х, f) через Мы будем
искать росток Ht(x), обладающий такими свойствами:
(О H,t=*iAf=S{n),
(ii) НА^0) = OeR"j
(m) Ft <» Ht = Ft,, т. e. F (H (x, t), i)-=F (x, f0).
Для U близких к to,, росток Я, автоматически обратим, поскольку росток Hi, обратим и det {DHt (0)) непрерывно зависит от t. Условие (iii) автоматически выполняется при t ~ /о, к, следовательно, достаточно заменить условие (iii) дифференциальным уравнением, которое выражает тот факт, что Ft ° Н{ не зависит от 2» т. е.
т ?-?(//<*,о.о^(*.о+^<я(*ао=о, 1 1
