Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
10. квадратичный дифференциал
113
Выберем координаты (уи ..., уп*) вокруг Df {0) на многообразии . LA (л2, п2) так, чтобы подмногообразие LA{n2, п2; п2 — п) -задавалось уравнениями ух = ...
• •• —Уп> —0. Пусть (У — координатная окрестность точки 0. Из трансверсальности вытекает, что производная в нуле следующей композиции отображений является изоморфизмом:
и-2+{{уи ,.., у*)} {(у„ .... у*)}-
Следовательно, если окрестность U достаточно мала, то эта композиция—диффеоморфизм и 0 = En(f) П U —
— (proj о Df)~l (0) П ?/•
Если мы слегка деформируем /, композиция останется диффеоморфизмом в некоторой меньшей окрестности U' cz U точки 0. (Воспользуйтесь леммой из § 3 гл. XIII книги Ленга и убедитесь в том, что окрестность &' не зависит от аппроксимации f, если только рассматривается достаточно хорошая аппроксимация.) Если А — аппроксимация f, которая отличается от f на однородный многочлен степени 2, то 0еГ(Л). В любом случае пересечение S'*(А) с U' состоит из единственной точки, которая близка к точке 0. Следовательно, если бы устойчивые отображения были плотны, то мы нашли бы устойчивое отображение, которое обладало 5ы только что описанными свойствами. Далее, так как 0 — изолированная точка множества 2"(f), то путем изменения членов второго порядка мы можем получить сколь угодно близкое к f отображение А, обладающее тем свойством, что d?h0 и d*f0 лежат в различных орбитах действия группы GL {п, R) X GL («. R) на Н{п,и), ибо коразмерность любой орбиты ^1. Следовательно, отображение f\U не устойчиво.
Чтобы провести те же рассуждения глобально, найдем скачала дифференцируемое отображение }, дифференциал которого всюду трансверсален LA(rr, п2; гг — п) и которое локально, в окрестности некоторой точки 0 е М, подобно рассмотренному выше отображению f\U. Построим аппроксимацию А отображения f так, чтобы А и f отличались только на U н
114
10l квадратичные дифференциал
чтобы орбита точки t/*A0 отличалась от всех орбит квадратичных дифференциалов / во всех точках мао* жества Поскольку 2Л(/) — многообразие размер* ности 0, таких орбит конечное или счетное число.
На первый взгляд кажется, что этот результат разрушает все надежды, которые возлагались на понятие устойчивости. Однако Том открыл (или, быть может, высказал гипотезу), что топологически устойчивые отображения всегда образуют плотное подмножество С“ (М, N) при условии, что М компактно. Мезер не то дал, не то анонсировал доказательство этого и соответствующего локального результата. Есть надежда, что эти результаты появятся в какой-нибудь работе о «топологической устойчивости» — быть может, в Шпрингеровской серии Ergebnisse der Mathe-matik.
Теория топологической устойчивости опирается на теорию стратифицированных множеств (стратификация — разложение множества в объединение дифференцируемых многообразий). Мы не будем здесь углубляться в эту теорию, и, к сожалению, по этой тематике нет литературы, доступной студентам. Однако несколько появившихся работ показывают, ¦ что эта область будет интересна и аналитикам, и топологам.
11. КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
Литература: Дж. Мезер, Конечно определенные ростки отображений, сб. Математика, 14: 1 (1970), 145— 179. J. С. Tougeron, ldiaux de fractions dlffireatlables I, Ann. Inst. Fourier, 18 (1968), 177 — 240.
P. Ганнннг, X. Росси, Аналитические функции многих комплексных переменных, «Мнр», М., 1969.
Дж. Милнор, Особые точки комплексных гнпериоверх-ностей, «Мир», М., 1971.
Пусть, как и выше, 8 (л, /п) — векторное простран-ство ростков (Rn, 0)->Rm. Обозначим через & (n)cz а 8 (п, п) подмножество обратимых относительно композиции ростков, удовлетворяющих условию f (0) = 0. Тогда пара (J (л), о ) есть группа и росток f е#(я, п), удовлетворяющий условию f(0)*= 0, принадлежит &(п) в том и только том случае, когда матрица ?>f (0) невырсчденна. Группа Я{п) действует на 8 (п, т) с помощью композиции: если J е8(п, tn) и R&SS (п.), то J ° h&8 (п, т).
11.1. Определение. Ростки - f0, f, щ 8 (rt, т) называются правоэквивалентными (или г-эквивалентными), еслн существует такой росток h<=3§ (я), что ?0»Я «в fj.
Пусть А 8 (п)-*8 (rt)/m(rt)*+1=R [*,,..., хп]Цри ... ..., jcrt)‘+1 — отображение, сопоставляющее каждому ростку его струю. Для удобств а обозначим 8 (п)/гл {п)ш
через %k(n). Каждому ростку f отображение /А сопоставляет соответствующую Л-струю, т. е. многочлен Тейлора f порядка k в начале координат.
116
П.КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ РОСТКИ
11.2. Определение. Росток / е= <§ (п) называется k-определенным (достаточным), если каждый росток §&& («), имеющий такую же А-струю, что и }, правоэквивалентен /.
Иными словами: если jkf. = jkg, то существует росток h е & (п), такой, что f — g ° h.
Можно дать соответствующее определение и для ростков из % (п, пг), но это не приведет ни к каким дополнительным разумным результатам. Это выяснится ниже, после того как мы познакомимся с простейшими видами ^-определенности.
