Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бреховских Л.М. -> "Акустика слоистых сред" -> 9

Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.

Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред — М.: Наука, 1989. — 416 c.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка): akustikasloistihsred1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 195 >> Следующая

ограничений не накладывается.
Когда твердые тела соединены,так, что могут беспрепятственно
проскальзывать одно относительно другого (''соединение со смазкой"),
имеем четыре граничных условия: [и"] s = 0, [апп] s = 0, ап/ = 0 ,j Ф п.
Эти условия относятся, в частности, к границе твердого тела с невязкой
жидкостью. Когда твердое тело соседствует с вакуумом (свободная граница),
остается три граничных условия: оП] = 0, /=1,2,3.
Уравнение упругих волн в неоднородной твердой среде значительно сложнее,
чем, например, уравнение (1.11) для звука в жидкости. Фактически (1.51а)
представляет собой систему трех связанных скалярных уравнений, каждое из
которых по сложности близко к (111). Связь скалярных уравнений, как мы
увидим ниже, соответствует непрерывному преобразованию волн сжатия в
сдвиговые и обратно при распространении в неоднородном твердом теле.
Сложность уравнения (1.51а) увеличивает ценность исследования частных
случаев, когда общее уравнение упрощается. Ряд интересных примеров сред,
допускающих сведение уравнения (1.51а) к независимым скалярным волновым
уравнениям, рассмотрен в работе [394]. Слоистые среды специального вида,
в которых волны сжания и сдвиговые волны связаны, но какая-либо одна из
них может распространяться, не возбуждая другой, исследованы в работе
[120, гл. 2].
В однородной упругой среде при использовании дифференциального тождества
Аа = grad (dive) - rot (rote) уравнение (1.51a) преобразуется в
следующее:
Э2и X + 2д
dt2
grad(dive) - jirot(rote). (1.52)
В самом общем случае вектор и можно выразить через скалярный у и
векторный ф потенциалы формулой
и = ut+ut, "/ = gradi^, M, = roti^. (1.53)
Заметим, что относительное изменение объема частицы при деформации равно
dive. Ясно поэтому, что в (1.53) поле смещений разделено на компоненту,
связанную с изменением объема частиц (и?), и чисто сдвиговую компоненту
ut.
Подставляя представление (1.53) в уравнение (1.52), получаем
Э2"1 Х + 2д Э2м, р
Ащ + г - - Atif = 0. (1.54)
dt2 р dt2 р
Действуя на соотношение (1.54) поочередно операторами div и rot и исполь-
21
зуя определение (1.53), находим
/Э2м, Х + 2д \ /Э2И/ Х + 2д \
4lF - -S ¦ *• 4l7 - ¦ "•
div(^_!V).o, - ?д",)-0.
\Эг2 р 7 \Эг2 Р у
Следовательно, заключенные в скобки выражения равны некоторым векторам,
зависящим лишь от f. Считая, что и; и ut определены с точностью до
произвольного, зависящего только от времени вектора, приходим к
уравнениям
Э2 ,_______________________________________
u,-cjAu, = 0, C| = V(X + 2ju)/p, (1-55)
Эг2
Э2
dt2
ut - с2 Am, = 0, ct = y/nlp. (1.56)
Таким образом, в однородном твердом теле волны сжатия и сдвиговые волны
распространяются независимо.
В силу соотношений (1.53) потенциал iр определен с точностью до
произвольной функции времени, а потенциал ф - с точностью
до произвольного
потенциального поля фх = gradA(r, t). Учитывая это, из уравнений
(1.55)
и (1-56) легко получить соответствующие соотношения для потенциалов:
^ ,р-с?Д<р = 0, (1.55а)
э2
ф - с2 Аф = 0. (1.56а)
Уравнения (1.55) и (1.56) аналогичны уравнению (1.16), элементарные
решения которого были рассмотрены в п. 1.1. Выпишем решения (1.55а) и
(1.56а) в виде плоских волн (ср. с. (1.17)):
у? = f {nrjc, 0. п2 = 1, (1.57)
ф = f(nr/ct- 0, п2 = 1. (1.58)
Величины С[ и ct являются скоростями распространения соответствующих
волн. Поскольку всегда д > 0 и для реальных веществ X > 0 [54, 167], то в
силу (1.55) и (1.56) имеем
с, > yjlct. (1.59)
Плоская волна (1.57), как и плоская звуковая волна в жидкости (1.17),
является продольной, т.е. смещения частиц в ней параллельны направлению
распространения. Действительно,
щ = grad у? = c[lnf(nr/c,- t), d
где /(?) = ------- /(?)• Плоская волна (1.58) является поперечной,
т.е.
d$
22
смещения в ней перпендикулярны направлению распространения: nut - п rot Ф
= Cfln{n X.f(nr/ct - 0) = 0.
Остаток настоящего параграфа посвящен упругим волнам в плоскослоистой
упругой среде. Случай сферически-слоистой среды затронут, например в
работе [4, гл. 9].
Рассмотрим, как и в п. 1.2, волны с гармонической зависимостью от времени
и горизонтальных координат:
и(г, со) = и(г, f, to) exp [/'(?/•- tor)]. (1.60)
Ось Ox направим вдоль вектора (. Тогда от координаты у поле не зависит.
Для функции и(г, to) уравнение (1.51а) переходит в систему трех скалярных
обыкновенных дифференциальных уравнений:
, Г Эы3 Эд
-cj2pui = /| (X + д)
Ъг
bz
•|2(\ + 2д)и,,
2 3 / Эн2 \ . -
-со'ри2 = - I Д ---- 1 - д|
Эг \ bz /
-аз ри3 = i |
Э Эи,
- (Хи,) + м - Эг dt
э + Эи, " и
Эг Эг .
э Ьи
/dz
(Х + 2д)
Эг
(1.61)
(1.62)
%2т3-
(1.63)
Уравнения (1.61)-(1.63) перестают быть связанными, если волна
распространяется перпендикулярно слоям, т.е. если | = 0. Важнее, однако,
заметить, что в произвольной слоистой среде уравнение (1.62) отделяется
от, вообще говоря, связанных уравнений (1.61) и (1.63). Это означает, что
волны, у которых вектор смещения заключен в плоскости xz (волны
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed