Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бреховских Л.М. -> "Акустика слоистых сред" -> 7

Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.

Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред — М.: Наука, 1989. — 416 c.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка): akustikasloistihsred1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 195 >> Следующая

образуемый волновым вектором с осью Oz, ось Ох направим вдоль вектора v0.
Тогда
p = qcosd, ( = (cjrsinflcosip, tjrsinflsinip,0), (1.33)
где q = qn - волновой вектор, ip - угол между направлением течения (ось
Ох) и проекцией п на плоскость ху.
В этих обозначениях, как следует из дисперсионного уравнения (1.32),
р(г, г) = Дехр [i(qr - соf)], q = к [1 + sin0 cosipu0/c]_1 • (1-34)
16
Фазовая скорость волны
cPh = I со/q | = | с + u0 sind cos<р | = | с + v0q/q | (1-35)
равна по абсолютной величине сумме скорости звука в неподвижной среде с и
проекции скорости течения v0 на направление распространения. Фазовая
скорость, а вместе с ней и длина волны, максимальны при распространении
волны по течению и минимальны при противоположном направлении ее
движения.
Запишем дисперсионное уравнение (1.32) в векторном виде. Заметив, что ?
v0 =<?v0,M2 + ?2 = q2, получаем из (1.32)
co = qc + qv0. (1.36)
Здесь q = | q |, если со > qv0viq= - | q | в противном случае. В такой
форме дисперсионное уравнение удобно для нахождения групповой скорости:
Эсо q
cg = -- = с- + v0. (1.37)
bq q
В движущейся среде вектор групповой скорости, дающий направление потока
энергии, не параллелен, вообще говоря, вектору фазовой скорости cph = I
cph I Ч /1 Я I и имеет другую величину. Векторы cph и cg равны только для
волн, бегущих по течению или против него, т.е. когда ±v0 II q-В среде с
переменной скоростью звука с = c(z), но постоянной плотностью и в
отсутствие течения уравнение (1.28) является одномерным уравнением
Гельмгольца:
Э2
p(z,?, со) + (к2 - g2)p(z,{,co) = 0. (1.38)
Ъг1
В этих условиях звуковое поле монохроматической волны в координатном
представлении р(г, со) подчиняется следующему из (1.23) трехмерному
уравнению Гельмгольца
Ар (г, со) + k2p(r, со) = 0. (1.39)
Большая часть теоретических исследований звуковых полей в неоднородных
средах заключается в построении точных или приближенных решений уравнений
(1.38), (1-39) и в исследовании их свойств в различных случаях.
Целесообразно поэтому свести уравнение (1.26). справедливое для слоистой
среды довольно общего вида, к уравнению Гельмгольца.
Проще всего эта цель достигается заменой искомой функции. Положим
^(z, {, со) = p(z, {, со)//3 (z, {, сo)Vp 00 • (1.40)
Уравнение (1.26) преобразуется тогда в следующее:
- =°- (М1)
Уравнение (1.41) имеет вид (1.38), но с некоторым эффективным волно-
2. Л.М. Бреховских
17
вым числом. Поэтому оно оказывается весьма удобным средством исследования
распространения звука в среде с плавными изменениями p(z) и v0(z). Если
же в жидкости p(z) или v0(z) на отдельных участках меняются резко, то в
уравнении (1.41), как и в (1.26). содержатся большие и быстро меняющиеся
коэффициенты, что сильно затрудняет применение приближенных аналитических
и численных методов решения.
Однако для гармонических волн в слоистой среде удается получить уравнение
распространения, не содержащее в своих коэффициентах производных от
параметров среды, пригодное, в отличие от (1.26) и (1.41), как при
плавных, так и при скачкообразных изменениях этих параметров. Этого
удается достичь путем перехода к новой независимой переменной [94].
Когда р = const, v0 = 0, уравнение (1.26) имеет желаемый вид (1.38).
Нетрудно найти его общее решение при дополнительном условии со = О,
где А и В - постоянные. Когда р Ф const, v0 Ф 0, но по-прежнему со = О, |
= 0, общее решение уравнения (1.26) имеет вид
Ро > 0 - нормировочная величина размерности плотности. Легко видеть, что
?(z) - монотонно возрастающая функция z. Сопоставление выражений (1-42) и
(1-43) подсказывает переход к новой вертикальной координате f(z) при
рассмотрении звуковых полей в среде со стратификацией плотности и
скорости течения. Выполняя в (1.26) замену переменной, приходим к
уравнению Гельмгольца
с эффективным волновым числом, зависящим от скоростей звука и течения и
плотности среды. Коэффициенты уравнения (1.45) ограничены, если только (1
Ф 0. Это уравнение удобно использовать, в частности, когда параметры
среды определены экспериментально и известны только в конечном числе
точек, поскольку отпадает необходимость приближенного вычисления
производных от р и v0 для подстановки в коэффициенты уравнений (1.26),
(1.41).
В новой системе координат (х, у, ?) граничные условия (1.29) принимают
тот же вид, что и условия в обычных координатах в отсутствие
стратификации течений и плотности:
Такой характер граничных условий позволяет описывать распространение
звука в среде с кусочно-гладкими зависимостями c(z), p(z), v0(z) при
помощи уравнения (1.45) в целом, т.е. без наложения условий сшивки
I = 0: р = Аг + В,
(1 -42)
p=A$(z) + B,
(1.43)
где
Z
^(z^Po1 / p(z'№2(z')?(z', z0 = const, г"
(1.44)
(1*45)
[pb = o, [Эр/эгк = о.
(1.46)
18
на горизонтах, где не существуют производные от p(z) или v0(z), входящие
в другие формы волнового уравнения. Выполнение условий (1.46)
гарантируется тогда уравнением (1.45) автоматически.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed