Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
подходе рассматривается как предел при стремлении коэффициента поглощения
к нулю. Так поставленное условие на бесконечности называют условием
предельного поглощения.
Вместо того, чтобы обращаться к средам с поглощением, можно потребовать,
чтобы на больших расстояниях от области, занятой источниками, поле
состояло только из волн, убегающих на бесконечность. Конкретный вид этого
условия излучения зависит от специфики рассматриваемой задачи. В
частности, в однородной неподвижной среде условие излучения имеет вид
[72, § 30]
ton г
д
-р(г,") - ikp(r,со) or
= 0. (1.24)
Условие излучения (1.24) справедливо, только если волна переносит энергию
в том же направлении, в котором бежит ее фаза. В диспергирующих средах,
где с = с (со), в принципе возможна ситуация, когда фазо-' вая и
групповая скорости различаются знаками. Тогда уносящей энергию от
источника будет волна, фаза которой бежит к источнику; соответственно, в
соотношении (1.24) знак перед к должен быть заменен на обратный. Для
определенности в дальнейшем, рассматривая проекции групповой и фазовой
скорости на какое-либо направление, будем считать их, если не оговорено
противное, имеющими один и тот же знак.
В слоистой стационарной среде волновые уравнения для гармонических волн
можно упростить далее по сравнению с (1-23) и свести к обыкновенным
дифференциальным уравнениям, если перейти к спектральным харак-14
теристикам давления p(r, t) не только по времени, но и по горизонтальным
координатам:
p(r,")= ffeifrp(z,t,b>)d2(, { = ({,,{2,0). (1.25)
- оо
Для ''элементарных" волн p(r, t) = p(z, co)exp((fr - iuf) взятие всех
частных производных, кроме 9/9z, сводится к умножению на число, и
уравнение (1.15) принимает вид
Э2 Q 0
-yp(z,f,Oj)- - lnp/32 -p(z,t,o>) + oz* Эz dz
+ (к202 -|2)p(z,^,co) = 0, (1.26)
где
/3= 1 -fvo/w. (1.27)
В уравнении (1.26) коэффициент при Эр/Эг имеет особенность при /3=0. В
области, где /3=0, происходит сильное взаимодействие звука с потоком,
носящее наименование резонансного [77, 251]. В случае медленных течений
(и0 ^ с), значение /3 близко к единице.
В отсутствие течения из уравнений (1.23) или (1.26) находим
Э2 Э Э
-rP(z,(, со)- - p(z,f,co)- 1пр +
9z 9z 9z
+ (к2 -$2)p(z,t Ы)=0. (1.28)
Уравнение (1.28) дополняется граничными условиями (1.21а). Получим теперь
граничные условия для уравнения (1.26). В слоистой среде невозмущенные
звуком границы являются горизонтальными плоскостями. В силу уравнения
(1.12) нормальная к границе z-компонента колебательной скорости равна
w= (/co/3p)-19p/9z.
(Мы учли, что в гармонической звуковой волне полная производная по
времени d/dt = Э/Э t + v0 V = - /со/3). С другой стороны, w равно полной
производной по времени от вертикального смещения границы, которое должно
быть непрерывной функцией. Следовательно, кинематическое граничное
условие в данном случае записывается в виде
1 Эр
- - =0. (1.29а)
PiЗ2 9z J s
Во избежание недоразумений подчеркнем, что на границе z = const
вертикальная компонента скорости частиц w испытывает скачок вместе с
v0(z). Неучет этого обстоятельства неоднократно приводил к ошибкам. (По
этому поводу см. [184, 553]). Можно показать, что граничное условие
(1.29а) соответствует непрерывности компоненты и" + и0 " полной скорости
частиц,
нормальной к возмущенной звуком границе. Когда v0 Ф 0, различие и п и w
имеет первый порядок по амплитуде звуковой волны, и пренебрегать им
нельзя.
15
Динамическое условие, как и в случае неподвижной жидкости, сводится к
требованию непрерывности акустического давления:
[p]s = 0. (1.296)
При v0 = 0 равенства (1.29а, б) совпадают с (1.21 а).
Отметим, что граничные условия (1.29) можно было также получить (при /3 Ф
0) из уравнения (1.26), рассматривая границу раздела как предельный
случай гладких изменений параметров среды в тонком слое (z 1 - е, Zj + е)
в окрестности границы z = z,. Действительно, представляя
(1.26) в интегральной форме
1 Эр
p/32 9z
z = z, + е z, + е к2о2 _ У2
= - / ~г-----p(z',{,o>)dz',
z = z, -е z,-e рЦ
"г
замечаем, что в силу ограниченности подынтегральной функции в правой
части
1 Эр
p/32 9z
• 1 Эр + е P/32 9z
при е -"• 0. Отсюда следует граничное условие (1.29а). Аналогично
устанавливается и условие (1.296).
В однородной среде уравнение (1.28) имеет общее решение
p(z, со) = Д ({, co)exp(/pz) + В({, co)exp(-/pz), (1.30)
где
Р = (1.31)
Дополненное фактором exp[/(fr - col)] оно представляет собой две плоские
волны, распространяющиеся в направлениях, симметричных относительно
горизонтальной плоскости. Эти направления распространения задаются
волновыми векторами кп = (|i, ?2, ±р). Здесь п, как ив (1.17), - нормаль
к фронту волны.
В равномерно движущейся (v0 = const) однородной среде уравнение
(1.26) также имеет общее решение вида (1.30), но дисперсионное
уравнение волны, связывающее ее волновой вектор с частотой, усложняется в
сравнении с (1.31):
p = Vk2P2 -$2 = VwV2( 1 -{voM2 - %2. (1.32)
Рассмотрим волну (1.30), (1.32), положив В = 0. Обозначим через в угол,
