Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Система уравнений (1.6) - (1.8) пригодна для анализа звуковых полей в
безграничной неоднородной жидкости, если ее параметры являются гладкими
функциями координат и времени, и, следовательно, имеют смысл все входящие
в уравнения (1.6) - (1.8) производные. Зачастую приходится сталкиваться с
ситуациями, когда жидкость ограничена или ее параметры скачкообразно
меняются на некоторой поверхности. Тогда уравнения (1.6) - (1.8) должны
быть дополнены соответствующими граничными условиями. Простейший вид они
имеют для абсолютно жесткой и абсолютно мягкой поверхности S. Первая, по
определению, не деформируется под влиянием волны. Следовательно,
b2p/bt2 -с2Ар = 0,
(1.16)
Pi ~ f(nrlc - 0* л2 = 1, п = const; р2 = г ~lF (r/c - t), r=lri.
(1.17)
(1.18)
vn(r) = o, res,
(1.19)
где v" - нормальная к S компонента вектора скорости частицы в волне
относительно невозмущенной среды (мы учли, что (uo)#t = 0 на S). На аб-12
солютно мягкой поверхности, также по определению, должно обращаться в
ноль полное давление:
р+Ро=0, res, (1.20)
где 5 - форма, которую приняла абсолютно мягкая поверхность под
действием волны. Условие (1.20) нелинейно по амплитуде звука. Для волн
малой амплитуды достаточно ограничиться линейным граничным условием.
Линеаризация соотношения (1.20) особенно просто производится при условии
постоянства невозмущенного давления в среде (V р0 = 0). Поскольку
величина р сама имеет первый порядок малости, а р0 удовлетворяет
граничному условию в отсутствие волны, то в линейном приближении по
амплитуде звука
р = 0, reS. (1.20а)
На границе раздела двух жидкостей должны выполняться кинематическое
условие, состоящее в равенстве нормальных смещений частиц, прилегающих к
Границе со стороны первой и второй жидкости, и динамическое условие,
состоящее в равенстве действующих на участок границы сил со стороны обеих
жидкостей (в противном случае непосредственно прилегающие к границе
частицы двигались бы с бесконечным ускорением). В неподвижной жидкости
(v0 = 0) с неподвижной невозмущенной границей эти условия принимают вид
равенства нормальных к границе компонент колебательной скорости и
равенства акустических давлений по обе стороны границы. Вводя обозначение
[/] s для скачка функции /(г, t) на поверхности S, граничные условия
запишем в виде
Ыя = 0, [рЬ = 0. (1.21)
Для уравнения (1.11) оба граничных условия нужно выразить через р, так
как скорость v не входит в уравнение. Используя соотношение (1.9),
условия (1.21) можно переписать в эквивалентном виде:
1 Эр
=0, [Pb = 0, (1.21а)
_р дп \s
где Ъ/Ъп означает производную по нормали к S.
Граничное условие (1.19) на абсолютно жесткой поверхности, записанное в
терминах поля давлений, принимает вид
Ър/Ъп = 0, reS. (1.19а)
Условия на идеальных границах (1.20а) и (1.19а) иногда называюнгранич-
ными условиями, соответственно, первого и второго рода. Кроме граничных
условий, в постановку задачи определения звукового поля входят начальные
условия. Если звуковая волна создается источниками, начавшими работу в
момент t = t0, то начальные условия заключаются в равенстве нулю р и
Эр/Эг в момент t0 во всем пространстве.
1.2. Гармонические волновые поля. В средах, параметры которых не зависят
от времени, можно уменьшить число независимых переменных в волновых
уравнениях, перейдя к спектральному представлению по времени:
P(r,t) = f p(r, u)e~tu}tdu, i-V=T. (1 -22)
13
С целью упрощения выкладок мы будем использовать комплексную форму записи
гармонических волновых полей. При этом физический смысл следует придавать
только их вещественной части. Для ''элементарных" волн Р(Л со)е iut с
гармонической зависимостью от времени уравнения (1.11) и (1.15)
упрощаются, так как взятие частной производной по времени сводится к
умножению на (-гсо). Так, уравнение (1.11) принимает вид
Ар(г, со) - Vlnp(r)Vp(r, со) + к2р(г, со) = 0, (1-23)
где к = со/с (г) - волновое число, со - частота. Волны фиксированной
частоты называют также монохроматическими.
Отметим, что уравнение (1.23) описывает распространение звука и в
диспергирующих средах, параметры которых (например, скорость звука)
зависят от частоты со. Уравнение (1.11) в такой среде теряет смысл.
Монохроматические волны обладают неограниченной протяженностью во
времени. Поэтому для них не удается сформулировать начальные условия в
том виде, как это было сделано в п. 1.1. Вместо них ставятся условия,
которым звуковое поле должно удовлетворять при г -"• °°. Эти условия
призваны отделить акустические поля, возбужденные заданными источниками,
которые мы считаем заключенными в ограниченной области, от приходящих из
бесконечности волн, соответствующих бесконечно удаленным источникам и не
имеющих физического смысла.
Один из способов выделить физическое решение задачи состоит во введении в
рассмотрение малого поглощения звука в среде, которое всегда реально
существует. При г -+ °° звуковое поле тогда, очевидно, должно стремиться
к нулю. Решение задачи о звуковых волнах в непоглощающей среде при таком
