Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
л Л
рассеяния S (рис. (4.6)). Компоненты S имеют ясный физический смысл:
К//- коэффициент отражения продольной волны, падающей из верхней среды,
Vit - коэффициент трансформации той же падающей волны в поперечную волну
в верхней среде, - коэффициент возбуждения поперечной волны в нижней
среде падающей из верхней среды продольной волной и т.д.; тильдой
обозначены аналогичные коэффициенты при падении волны из нижней среды.
Рис. 4.4. Система вопн при отражении на границе упругих полупространств
94
Знание матрицы рассеяния позволяет найти отраженные волны в обоих
полупространствах при произвольной падающей плоской волне. Для
Л
вычисления S фактически требуется определить восемь из шестнадцати
компонент матрицы: в силу симметрии задачи коэффициенты с тильдами
получаются из аналогичных коэффициентов без тильд переобозначением С/ ¦*-
* Сц, ct *-*cti, р *-*Pi. Вид матрицы рассеяния определяется граничными
условиями (1.70) непрерывности вектора смещения и двух компонент тензора
напряжения. Выразим граничные условия при помощи формул (4.2) и (4.3)
через амплитуды падающих на границу и уходящих от нее волн:
MlWi -Фг)~У&1 +<й)] = MitPiOh -ФО-ТоО?! +Vi)l (4-23)
/ФОР 1 -<л) + 'У(^1 +Фг)] =Pi[ai(v>2 -&) + ,Г1(^1 +Фг)], (4.24)
Р(ф, - ф2)~ + ЧЪ) = 01 (Ф2 ~ Фг) - $(<?! +52). (4.25)
"('Pi -<Л) +НФ1 + Ф2) = "1 (<Л - ?i) + ?0l'i + Фг)- (4.26)
Граничные условия (4.23) -(4.26) дают систему четырех линейных уравнений
для определения четырех неизвестных а ,1^1""sPi и ф,. Из (4.22) видно,
что для определения компонент матрицы S достаточно найти решения системы
в двух случаях: \р2 - 1, ф2 = *Рг ~ Фг ~ 0 и ф2 ~ 1. $2 ~ ^2 = = ф2=0.
Можно также переписать систему уравнений (4.23) -(4.26) в матричном
виде:
=ЛЧ Й
\ф,/ \ф2,
(-l)Vr (-1)/+Vi7i
да (-1У+1 Д7 Mia,
^•=1 (-1У? & (-m
^a (-l)/+1f a
(4.27)
Л Л A
Тогда S = N] N2 и вычисление матрицы рассеяния сводится к нахождению
Л . Л
матрицы 7V, , обратной к 7V), и перемножению двух матриц.
Л
При обоих подходах нахождение матрицы S требует простых, но довольно
громоздких выкладок, которые мы опускаем. Результат имеет вид
V" = [A] + а1Р1~1(В21 + Qa~1Bl)~
-щ(а,а-' (4.28)
у и = [A] -0a~'Aj +a,jS1_1(j5, -0ам.82) +
+ m(a,a-1 -Р|Р_1Х*?1/2{2)*] Д'1. (4-29)
95
К""-2 [А^+а^-'ВМй.-', Vtl = -0a'1 Vlv . (4.30)
W" = k2nГ2(A, -B2)Д-1, Wtt = k2tlГ3И, - а,№2(a0,Г1 A'1,
(4.31)
W/r = *?хГ2(Ла +а10Г,5,)Д-,) H'f,= -fc?1{~3(l8a"1i42 + 5,)^.
(432)
Здесь обозначено
А, = п2 - myi $_1, А2 =(nzy-myi)P~1,
Вх = (п2 В2 = 0](Г1(я27?_1 -т), (4.33)
т = р,/р, я = с,/сп, (4.34)
А = А2 +0а~1А2 + а1р1~1(В2 + 0а~1В2) +
+ т(а1а~1 + 0i(r1)(fc3i/2?J)2. (4.35)
В работе [505] даны подробные таблицы значений коэффициентов отра-
жения от границы раздела двух упругих полупространств для разных углов
падения и соотношений параметров сред. Г рафики угловых зависимостей
А
компонент матрицы S можно найти, например, в статье [554].
Матрица S обладает рядом универсальных свойств, вытекаюших из симметрии
задачи и закона сохранения энергии. Отметим одно из них. Известно, что
при умножении столбца или строки матрицы на число q ее детерминант
увеличивается в q раз. Умножая первый и третий столбец мат-
Л
рицы N j в (4.27) на (-1/ и затем вынося обшие множители (-1)/ из второй
и четвертой строк за знак детерминанта, легко можно показать,
А Л
что в (4.27) det Nt = det N2 ¦ Следовательно,
det S=l. (4.36)
Равенство (4.36), справедливое при любых параметрах граничащих
полупространств, может быть использовано для контроля вычисления
коэффициентов отражения и трансформации. Оно является прямым обобщением
равенств (4.9), (4.10), доказанных выше для случая отражения от свободной
границы. Другие универсальные свойства матрицы рассеяния обсуждаются в §
6, см. также [410].
Рассмотрим подробнее важный специальный случай: отражение на границе
жидкого и упругого полупространств. Будем считать, что полупространство z
> 0 занято жидкостью. В ней распространяются только продольные звуковые
волны. Потенциал приобретает более наглядный смысл: из сопоставления
уравнений (1.53) и (1.9) следует, что
р = pooV (4-37)
где р - акустическое давление. Индекс / для величин, относящихся к
продольным волнам в жидкости, опускаем.
Чтобы получить коэффициенты отражения и трансформации волн на границе,
следует перейти к пределу 0 в формулах (4.28) -(4.32). При этом л-* 0, к(
- я2-у -*¦- к2 i/2?. Из соотношений (4.28) и (4.35)
находим коэффициент отражения звуковой волны, падающей из жидкости
96
на границу твердого тела:
V = [4та?2(а,0, + у]) - ] [4/иа|2(а:,0, +7?) + <*,??,] _1.
(4.38)
Для коэффициентов возбуждения продольных и поперечных волн в упругом
полупространстве из (4.31) и (4.32) имеем W{ = -4ot'y,?fc?1[4ma?2(a,0, +
7!)+ "i ]_1,
W^an^W,. (4.39)
Коэффициенты V, IP, и Wt можно выразить через угол падения 0 звуковой
волны и углы преломления 0, и 0, продольной и поперечной волн в упругом
полупространстве. Аналогично (4.16) получаем
? = к sin в = kti sin 0, = ktl sin 0,, (4.40)
