Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим на основе уравнений (1.6) - (1-8) два наиболее важных
специальных случая. Пусть в отсутствие волны среда покоится: v0 = 0.
Тогда из уравнения (1.1), записанного для начального состояния, следует,
что Vp0 = 0. Система уравнений (1.6) - (1.8) сильно упрощается. Исключая
из соотношений (1.7) и (1.8) величину dp' jdt, получаем
dv 1
- =--Vp, (1.9)
ot p
1 Эр
divv + -- -= 0. (1.10)
pc2 dt
Применяя к 'уравнению (1.9) оператор div, а к (1.10) - оператор Э/Эt и
вычитая результаты, находим Э
Э t
а Э-Ст)-
- замкнутое уравнение распространения звука в неподвижной неоднородной и
нестационарной среде. Если из уравнения (1.11) найдено акустическое
давление р(г , г), то не составляет труда найти и другие характеристи-
10
ки звукового поля. Так, скорость частиц можно определить из уравнения
(1.9).
Другим важным случаем, когда система уравнений линейной акустики сводится
к одному уравнению, является слоистая среда. Так называют среды, свойства
которых зависят только от одной пространственной координаты и, возможно,
времени. Важность этого класса неоднородных сред обусловлена, с одной
стороны, тем, что в большом числе геофизических и технических задач среды
действительно являются слоистыми или мало отличаются от них. С другой
стороны, ценность слоистых моделей заключается в сравнительной простоте
их описания, позволяющей Достаточно далеко продвинуть теорию звуковых
волн.
Пусть невозмущенные 'параметры среды не зависят от декартовых координат х
и у, которые будем называть горизонтальными, но могут меняться в
зависимости от вертикальной координаты z. Это случай плоскослоистой
среды, который занимает центральное место во всем дальнейшем изложении.
Для вывода волнового уравнения предположим, что скорость невозмущенного
течения горизонтальна и не зависит от времени. При сделанных
предположениях из уравнения (1.1) следует Vp0 = 0. Принимая во внимание
очевидные соотношения div v0 = 0, v0 Vp = 0 и исключая из системы
уравнений (1.6) - (1.8) неизвестную величину р' , получаем соотношения
(ср. с (1.9) и (1.10))
dv dvо Vp ,. ...
- + w ------- = - - , (1-12)
dt dz р
1 dp
-- - +divv = 0, (1-13)
pc dt
где w- z-компонента вектора v. Чтобы исключить из уравнений неизвестные
горизонтальные компоненты скорости v, применим к уравнению (1.12)
оператор div, а к уравнению (1.13) - d/dt. Вычитая результаты и учитывая
получаемое прямым дифференцированием равенство
d\ d
div --------div v =
dt dt
находим d
("•
Чтобы исключить из (1.14) неизвестную величину wh получить замкнутое
уравнение для акустического давления р, продифференцируем соотношение
(1.14) по г и используем z -компоненту уравнения (1.12). Получаемое при
этом волновое уравнение в движущейся слоистой среде имеет вид
В слоистой среде без течения уравнение (1.15) переходит в (1.11). Для
трехмерно-неоднородной среды с произвольным течением волновое уравнение
не известно. Замкнутое уравнение для р удается, однако, получить в важном
случае медленных течений (| v01 < с) [95].
11
При выводе волновых уравнений мы до сих пор предполагали, что на жидкость
не действуют сторонние силы. Учет их приводит к появлению дополнительного
слагаемого в правых частях (1.1) и (1.6). Сторонней силой, всегда
действующей на жидкость, является сила тяжести, играющая важную роль в
формировании стратификации c(z) и p(z) - невозмущенных параметров в
атмосфере и океане. Сила тяжести оказывает влияние на распространение
звука и непосредственно: волновые уравнения при условии Vp0 Ф 0 не
сводятся к (1.11) и (1.15). На низких частотах сила тяжести обусловливает
существование специфических акустико-гравитационных волн, играющих важную
роль в динамике- атмосферы и океана (см. [54, 105, 531]). Однако на
характерных для звука частотах/>, 10 Гц влияние непостоянства
статического давления р0 оказывается пренебрежимо малым (см.,
например[54, 245]), и мы не будем его учитывать в дальнейшем.
Волновые уравнения (1.11) и (1.15) описывают звуковые поля в неоднородной
и нестационарной жидкости весьма общего вида. В различных задачах полезны
разные частные случаи этих уравнений. Простейшим является случай
однородной неподвижной стационарной среды (р = const, с = const, v0 = 0).
Тогда из уравнения (1.11) получаем:
т.е. волновое уравнение в том узком смысле, в каком понимается этот
термин в математике [72]. Отметим два простых частных решения уравнения
(1.16):
Здесь / и F - произвольные гладкие функции. Единичный вектор л является
нормалью к плоскости, в которой остается неизменным аргумент функции f и,
следовательно, звуковое полер!. Волна вида (1.17) называется плоской. Она
распространяется вдоль направления л со скоростью с, не меняя своей формы
и амплитуды. Волна р2 обладает сферической симметрией: величина давления
(и других характеристик звукового поля) в каждый момент времени постоянна
на сферах г = const. Такая волна называется сферической (или, точнее,
сферически-симметричной).
