Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
ограничена случаем малых значений а$. Отбрасывание пропорциональных а5 н
а6 членов в показателе экспоненты, согласно (17.65), приводит также к
ошибкам в определении коэффициентов D2 н D3.
Локальная асимптотика волнового поля в окрестности точки возврата
каустики была корректно построена н исследована в работах [156, 157), где
использовался отличный от примененного нами, но эквивалентный ему прием.
Вместо разложения so(q) н q(s) в ряды, в [157] уравнение замены
переменной (17.37) дифференцировали по набору параметров {а*}, от которых
зависит значение интеграла (17.1), н вычисляли производные bXjbak н д
У/дак в точке возврата каустнкн. В качестве параметров оск можно взять
коэффициенты ау н а2 или координаты точки наблюдения.
Рассмотренные выше простая каустика н каустика с острием, где в точке
могут сливаться два илн три луча, представляют собой два простейших типа
особенностей лучевых структур. Людвнг [442] свел к решению алгебраических
уравнений построение равномерной асимптотики волнового поля в весьма
общем случае каустик, где сливается произвольное число лучей. Полная
классификация каустических поверхностей, порождаемых бесконечно-
дифференцируемыми функциями (q), была дана теорией особенностей
дифференцируемых отображений (теорией катастроф)
(17.64)
Di =",П"о). ft = -[6i^'(<7o) + 2ft2f(?0)J, ft = -[- * iF"(4o) +
3bli>2F'(q0) + 3d3f(?0)] •
(17.65)
383
[15, 16; 37, 82] на основе понятия структурной устойчивости. Структурно
устойчивые каустические поверхности не испытывают качественных изменений
поя действием определенного класса возмущений, т.е. исходная и
возмущенная поверхности связаны взаимно однозначным отображением. Прочие
особенности лучевых структур прн возмущении распадаются на структурно
устойчивые.
Установлена связь между геометрией каустики н поведением волнового поля в
ее окрестности. Теория катастроф описывает эталонные интегралы"
соответствующие структурно устойчивым особенностям, н их основные
свойства. Эти интегралы - функции нескольких переменных, число которых
равно коразмерности особенности т. Особенность с т = 1 - это простая
каустика, с т = 2 - каустический клюв. Прн т = 3 возможны уже три вида
каустик. Мы не будем останавливаться подробно на описании сложных каустик
н нх классификации. Этим вопросам посвящена обширная литература.
Графические изображения структурно-устойчивых каустик с т < 5 можно
найтн, например в [37, 158]. Методы и результаты вычисления
соответствующих эталонных интегралов обсуждаются в обзоре [159]. В явном
виде равномерные асимптотики волнового поля прн на*, личин каустик
построены только для простой каустики н каустического острня. Описанными
выще методами в принципе возможно выразить локальную асимптотику поля в
окрестности любой каустнкн через соответствующий эталонный интеграл и его
первые производные. О современном состоянии вопроса можно судить по
обзорным статьям [14, 152, 158, 304].
Классификация структурно устойчивых каустик н выяснение основных
особенностей поведения высокочастотного волнового поля в их окрестности
явились значительным достижением математической физики н имеют большое
познавательное значение. Однако при решении приклад-; ных акустические
задач асимлтотнческне разложения поля в окрестностях сложных каустик
используются чрезвычайно редко. Это обусловлено тремя факторами.
Во-первых, окрестности сложных особенностей занимают сравнительно малую
часть пространства. Если окрестность простой каустики, где не-, применимы
лучевые формулы, - это тонкий слой вокруг поверхности в трехмерном
пространстве, то асимптотику, полученную для окрестности каустического
клюва, нужно использовать вблизи кривой. К тому же оценки интенсивности
звука в таких областях можно получить из простых физических соображений
(см., например [151, § 10]).
Во-вторых, особенности волнового поля повторяют структуру каустик только
в лределе бесконечно высоких частот. Прн конечных частотах, как
отмечалось в [159], [151, § 10], амплитудная н фазовая структура поля
более стабильны при развитии сложных каустических поверхностей, чем нх
геометрия. Если k0L - большой параметр задачи, то формально (k0L)v > 1
ирн любой положительной степени v. Фактически лрн конечных частотах
складывается иная ситуация. Так, отношение звукового давления в точке
возврата каустики к мавлению в ее неособой точке пропорционально
(fc0Z,)'^n. При k0L "103 эта величина составляет 1,78 и даже прн k0L =106
- всего 3,16. Поэтому усиление поля вследствие сложной фокусировки может
быть далеко перекрыто другими факторами.
384
В-третьих, построение асимптотики и само итоговое выражение для сложных
каустик весьма громоздки. Для реальных вычислений по формулам, содержащим
эталонные интегралы, зависящие от двух и большего числа переменных,
необходимо обратиться к ЭВМ. Одиако в этом случае более простыми, гибкими
и точными оказываются, как правило, другие численные методы, позволяющие
