Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
(17.14) и обычного вклада одного луча, а вдали от каустик - в сумму
лучевых полей (включающих каустический сдвиг фаз).
Равномерная асимптотика волнового поля в окрестности точки возврата
каустики впервые была построена, по-видимому, в работах [472, 337]. Ранее
методом эталонных функций были получены алгебраические уравнения для
определения значений аргументов интегралов Пирси и амплитудных
коэффициентов [442]. Отметим, что асимптотика (17.55), (17.56) описывает
также поле в окрестности фокуса цилиндрической линзы при наличии
аберрации. Подробнее об этом и об условиях перехода к
геометроакустическим результатам см. [151, § 11].
Уже в рассмотренном выше случае каустического клюва определение
параметров X, У, <ро равномерной асимптотики из системы алгебраических
уравнений представляет нетривиальную задачу. Для большего числа
сближающихся перевальных точек решение соответствующих алгебраических
систем наталкивается на трудно преодолимые сложности, и приходится
ограничиться локальной асимптотикой, Чтобы проиллюстрировать технику
построения локальной асимптотики (см. § 11) в случае сложных фокусировок
звукового поля, получим ее для окрестности точки возврата каустики не из
(17.55), (17.56), а независимо.
Когда точка наблюдения находится в окрестности вершины каустического
острия, стационарные точки qx 2 3 близки между собой, а производная
b3{pfbqs мала. Целесообразно поэтому разложить $($) в ряд в окрестности
точки#0,где b3ip(go){bq3 =0:
<p(.4) = 4i(.4a) + v 2 а,(д-Чо)', a, = v(l\y' 3
l=i Э q
d*ip(Qo)
а3 = 0, v* sgn . (17.57)
Отметим, что а* > 0. Поскольку ^ (q) задано, <у<> и коэффициенты а\ явля-
381
ются известными функциями координат точки наблюдения. Уравнение замены
переменной (17.38) запишется в виде (ср. (11.10))
Ys+Xs2 +s4 = vy(q0) -у0] + 2 aj(q ~ qо)*. (17.58)
1=1
Его решение будем искать в виде ряда
q - qo = bo +bts + b2s2 + ... (17.59)
Подставляя (17.59) в (17.58) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях s, получаем бесконечную систему уравнении:
<А> =^(Qo) + aib0 +... , aibi + 2a2bobx+ ...,
X ~ а2 b\ + Oi b2 2a2bob2 + ..."
0= 2a2bib2 + a\b$ + 2b0(a2b3 + 2a4b\) + ...,
1 = a4b\ +a2(2byb$ +b2) + ffi&4 + &0(2я2&4 + I2a4b2b2 + 5as?>?) + ...,
0 = a5bi +4^461^2 + 2q2 (b j ?>4 +Ь2Ьз) +
+ ai bs +2bo(a2bs + 18tf4?>jb3 + 10<z5?>i b2) + .. .,
(17.60)
Невписанные члены пропорциональны bl и старшим степеням b0.
В точке возврата каустики обращаются в нуль величины , а2, bo, X, Y.
Ограничимся вычислениями с точностью до квадратичных по ах н а2 членов.
Для определения X, Y н в этом приближении в первые три уравнения (17.60)
достаточно подставить значения Ь\ и Ь2 прн =а2= О, которые легко
отыскиваются нз 5-го и 6-го уравнений. Приведем также значение Ь2 при at
= а2 = 0, которое понадобится нам в дальнейшем:
?>i =Д4_1/4, ?>2 = -ffs/4fl43/2, Ьг=(1а\ -8a4ff6)/4fl411/4f ?Jo=?J(flo)i
X - {Аа2а4 - Q\ffs)/4fl4^ , y = *^4.
Пусть функция *p(q) задана, как в (17.1), а положение каустического
острия определяется уравнениями г = rt, 2 = zt. В окрестности острия
согласно (17.57) ~r - rt + (z - zt) ,а2 (z - zt), где /31(2 -постоянные.
Тогда уравнение каустики (17.42) можно записать в явном виде
[(4а.02 - - z,) -as(r - r,)]} + 63а} [г - + 0, (z - z,)]2 = 0.
(17.62)
Здесь значения коэффициентов а4 н as следует брать при г = rt, г = zt.
Для вычисления интеграла (17.51) функцию Ф($) также разложим по степеням
s. Коэффициенты будем вычислять с точностью до линейных по Q\ и а2
членов. Из тождества (17.54) при/?( = 1 вытекает, что +""
S 53ехр[/'А:о^(^4 + Xs2 + Ts)]i?s =
+ 0*
= - / (Xs!2 + Yl4)exp[ik0v(s4+Xs2+ Ys))ds. (17.63)
3B2
Мы видим, что при малых X и У интегралом от s3 можно пренебречь по
сравнению с интегралами от 1 и s. Для первых трех членов разложения Ф(у)
при учете (17.59) имеем
Ф (s)-F(q)q'(s) = F(q0)(bl + 2b2S + 3b3s2) + F'(qQ)bis(b1 +3 b2s) +
Подстановка (17.64) в (17.51) приводит к локальной асимптотике звукового
поля в окрестности каустического клюва. Локальная асимптотика сохраняет
форму равномерной асимптотики (17-55), но параметры уэ0" X н Y в ней
определяются формулами (17.61), и коэффициенты Dj - соотношением
По характеру сделанных при ее выводе приближений н по точности
относительно большого параметра kQi полученная асимптотика аналогична
формуле (17.18), относящейся к окрестности неособой точки каустики. Если
в последнем случае главный член асимптотического разложения выражается
через низшую нз необращающихся в нуль производных - величину^'" (г/о) - -
г" (?о)> то аргумент X (17.61) интеграла Пирси зависит не только от
(<7о)> но и от (<?0). В большинстве работ [302,
303, 335, 460 и др.), посвященных исследованию волнового поля в
окрестности точки возврата каустнкн, это важное обстоятельство осталось
незамеченным. В разложении <р (q) в ряд Тейлора авторы сохраняли только
пять членов вплоть до $ (q0) (q - ^0)4/24. Из выражения (17.61)
для X видно, что применимость формул, полученных таким образом,
