Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
корреляции 1//.
Рассеяние волн на поверхности с малыми неровностями можно наглядно
интерпретировать следующим образом. Представим себе неровности как
некоторые тела, лежащие на плоской границе раздела однородных сред.
Рассеяние звука иа этих телах можно описать действием расположенных
вблизи границы раздела источников, сила которых пропорциональна звуковому
полю в месте расположения тела и зависит от контраста между параметрами
тела и окружающей среды. Тогда неровная поверхность будет распределенным
по плоскости излучателем звука, и определение боковой волны оказывается
во многом аналогичным задачам, рассмотренным в п. 14.5.
Рассмотрим среднее поле, возникающее при падении сферической волны pi на
случайную поверхность. Источник звука расположен в верхней среде в точке
= (0. 0. z"), г, > 0. Разлагая падающую волну на плоские и используя
принцип суперпозиции, получаем интегральное представление переизлучеииого
неровной поверхностью звукового поля:
<p(R)) ~p,(R) = (г/2тг)/d(v~l V(f)exp{i[fr + v{z + z0)]). (14.52)
От интегрального представления (12.7) поля, отраженного плоской границей
раздела, правая часть (14.52) отличается только заменой фреиелевс-кого
коэффициента отражения V иа V.
В общем случае анизотропной поверхности средний коэффициент отражения V,
в отличие от V, зависит не только от величины, но и от направления
вектора djs (14.50) являются гладкими функциями Будем предполагать, что и
^(к) ие имеет особенностей. Тогда Кбудет иметь точки ветвления только при
v = 0, vx = 0, т.е. прн %}к = 1, п. Интегральные представления поля вида
(14.52) исследовались в пп.12.6 и 14.4 в связи с отражением от движущейся
среды. Было показано, что для^ вычисления поля боковой волны следует
умножить р{ (12.85) на k(bVldvx)^-^b, = = nkrjr и разделить иа В (14.22).
Таким образом после простых выкладок для боковой волны в среднем поле
получаем
<р>( = Qfto(K;Ko). Q = -0,5m cos 5(ЭК/Э|/, \=(ь, (14.53)
где pi0(R- Ко) определено в (14.42). Это боковая волна, возбуждаемая на
плоской границе раздела. При { = лроизводиая b%jbv\ = -vx j% - 0.
Поскольку DfS - гладкие функции f, то dD}Sjbvx = 0 при vx = 0. Тогда из
(14.53) и (14.48), пренебрегая членами О (а4), находим
Q = ехр (а2(Д,, - v2-2D,,/mi>) (ь = nkrjr. (14.54)
Если неровности изотропны, т.е. функция корреляции W(r3 - г2) зависит
только от | Г] - г 21 , то Q не зависит от положения источника и
приемника.
При выводе формулы (14.53) предполагалось, что V(?) является медленно
меняющейся функцией по сравнению с экспоиеитой под интегралом
(14.52); V существенно меняется при изменении ( иа величину порядка min
(к, 1//). Максимальным масштабом изменения экспоненты служит (k/\R + R0 |
)1^2. Поэтому полученным выражением для боковой волиы можно пользоваться,
если fc(r2 +- (г +z0)2]1'2 > 1 + к212,
324
Зеркально otpajKeHHan компонента среднего поля равна <р,> " * V(kr/\R +
R0 |) | R + R0 I _I exp (/ fc| R + R0 [ )• В асимптотике интеграла
(14.52) ей соответствует вклад стационарной точки f * ts = kr(\R +
Л01. Легко видеть, что ?, = к sin 0О, где 0О = arctg [r((z + z0)] - угол
зеркального отражения.
Рассмотрим два предельных случая, когда радиус корреляции велик или мал
по сравнению с длиной волны. Пусть сначала kl > 1 (крупномасштабные
неровности). При / согласно (14.51), W(k) ->б (к); Главный член
разложения D/s по степеням (/г/)'1 получим, заменяя W в (14.49) на 6-
функцию. Тогда Djs ((b) = d,s ({b, (b)l [mv (?й) ], н из (14.54) находим
Q = ехр (-к2о2 cos2 6). (14.55)
Вычисляя V по формулам (14.48) - (14-50), нетрудно убедиться, что в
рассматриваемом случае V (?$) - К^) ехр (-2к2 a2 cos2 0о). Таким образом,
при рассеянии на крупномасштабных неровностях и боковая волна, и
зеркально отраженная компонента среднего поля ослабляются по сравнению со
случаем отсутствия неровностей. Однако в условиях применимости ММВ ка <4
1, и ослабление мало.
Более интересные результаты получаются в случае мелкомасштабных
неровностей (kl < 1). Для оценки Djs перейдем в (14.49) к интегрированию
по к = (' - Представим v' в виде
у'= ^(| { + к|) = /к[1 +(?2 - к,2 +2к{)/(2к2)-(к*)2/к4] + 0(fc3/*2)-
Аналогичная формула для отличается от (14.56) только заменой к2 на к^п1.
Малая область к <С к <4 1/1, где неприменимы разложения и' н v\ по
степеням к/к н ?/к, дает пренебрежимо малый вклад в интегралы (14.49).
ДляZ)12 ({) имеем
В силу (14.51) имеем Vx W(r) = / / W(k)k ехр (iter) dtс. Поскольку
величины W(г) и W(k) вещественны, то /kW(k) dn = 0, следовательно, Dl2 %
** 4b/(m + 1). Отметим, что при т = 1 этот результат является точным.
Аналогично проводится и оценка 0,5 ({), она дает
где а* и <*2 - безразмерные коэффициенты порядка единишь зависящие от
спектра неровностей. Если неровности изотропны, то
(14.56)
т +1
Ь-к2(т-1)?3.
(14.57)
(14.58)
а2 = / / к2Щк)<1к.
о
325
Подставляя значения D12 и Dj 1 в (14,54), находим множитель Q,
описывающий отличие боковой волны в среднем поле от боковой волны в
